Формирование желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики

Метод логарифмичеких частотных характеристик вследствие его эффективности и наглядности является наиболее распространенным среди аналитических методов синтеза корректирующих устройств. В реализации этого метода можно выделить несколько этапов:

– первый – состоит в формировании желаемой логарифмической амплитудной частотной характеристики. Желаемой называют такую логарифмическую амплитудную частотную характе ристику (ЛАЧХ), которая удовлетворяет требованиям, предъявляемым к проектируемой системе;

– второй – заключается в построении ЛАЧХ по передаточной функции исходной системы;

– на третьем этапе сопоставляются ЛАЧХ желаемой и исходной систем, на основании чего строится ЛАЧХ корректирующего устройства;

– на последнем этапе, как правило, методом математического моделирования, проверяется устойчивость скорректированной системы и её соответствие требуемым показателям качества.

Одним из показателей качества работы системы автоматического управления является точность воспроизведения входного задающего (управляющего) воздействия в установившемся режиме работы. Этот показатель оценивают по величине ошибки (отклонению регулируемой координаты от требуемого значения), которую можно подсчитать, используя теорему о конечном значении функции (§ 5.2 формулы (5.3) и (5.8)) или коэффициенты ошибок (5.14).

Частотный метод синтеза предполагает, что на систему подается гармонический управляющий сигнал, параметры которого известны:

, (7.1)

где g_m – амплитуда и ω_p – частота считаются рабочими. В том случае, когда параметры гармонического входного воздействия не известны, приводятся максимальные значения скорости и ускорения, требуемые от проектируемой системы. Для вращательного движения это будут угловая скорость α׳_max и угловое ускорение α״_max. В случае поступательного движения производится пересчет линейных скоростей и ускорений в угловые через параметры преобразователей (шарико-винтовой; винт-гайка; рейка-шестерня,

различные кривошипно-шатунные механизмы и т.д. и т.п.).

При заданных максимальных скорости – α׳_max и ускорении – α״_max используя (7.1), рассчитаем параметры эквивалентного гар-монического закона входного воздействия полагая:

(7.2)

(7.3)

Поделив (7.3) на (7.2), получим:

– эквивалентную рабочую частоту; (7.4)

Возведя в квадрат обе части (7.2) и поделив его на (7.3), получим:

– эквивалентную амплитуду воздействия. (7.5)

Полученные числовые значения используются для расчета параметров желаемой ЛАЧХ.

Исходя из требуемой ошибки амплитудой ε_m, по формуле (5.7) рассчитаем необходимый минимальный коэффициент передачи разомкнутой системы, который она должна иметь на рабочей

частоте.

. (7.6)

В логарифмических координатах амплитуды и частоты определяем местонахождение рабочей точки А, координаты которой: (7.7)

Для астатических систем 1-го порядка строят запретную область, в которой не должна располагаться желаемая ЛАЧХ. Через рабочую точку проводят две прямые: в область низких частот с наклоном –1, а в сторону высоких частот с наклоном –2 (рис.7.1). Обос-нование построения запретной области дано в Приложении 5.

Рис.7.1

Динамические показатели качества системы управления зависят от наклона и протяженности среднечастотной асимптоты, проходящей через частоту среза. Известно [4,5,6 и др.], что частота среза и время регулирования связаны обратно пропорциональной зависимостью. Предлагаются различные способы определения частоты среза [5 ÷ 11], через которую затем проводится среднечастотная асимптота. Казалось бы, чем выше частота среза, тем меньше время регулирования. Но у этого требования есть и негативная сторона. Поскольку все элементы имеют ограниченную полосу пропускания, то высокочастотные сигналы для них будут помехой, нарушающей их тепловой режим работы. Например, механическая часть электродвигателя – исполнительного элемента системы, не сможет поворачиваться на требуемый угол, отрабатывая высокочастотный входной сигнал. А в то же самое время ток в цепи управления отреагирует на высокочастотный сигнал. В этом случае часть энергии пойдет на ненужный нагрев электродвигателя, что приведет к нарушению теплового баланса.

Асимптота в области средних частот проводится только с наклоном –1. Проведение асимптоты с наклоном –2 приводит к ситуации, когда система становится неустойчивой или близка к

границе устойчивости.

Протяженность среднечастотной асимптоты рекомендуется делать не менее декады, распределяя примерно равные отрезки по обе стороны от частоты среза. На практике эту асимптоту ограни-чивают сверху значениями амплитуды на уровне (12 ÷ 16) дБ и снизу – на уровне –(12 ÷ 16) дБ рис 7.2.

Рис.7.2

Две асимптоты одинакового –1-го наклона низкочастотную и среднечастотную сопрягают асимптотой, имеющей наклон –2 (реже с наклоном –3). Точки пересечения сопрягающей асимптоты определяют частоты сопряжения желаемой ЛАЧХ и, следовательно, постоянные времени (Т₁ = 1/ω₁ и Т₂ = 1/ω₂) передаточной функции желаемой системы (рис.7.3). Из точки пересечения среднечастотной асимптоты с уровнем –(12 ÷ 16) дБ проводится асимптота с наклоном –2 или –3. Частота излома на выбранном отрицательном уровне ЛАЧХ определяет постоянную времени Т₃ = =1/ω₃. Так как высокочастотная часть желаемой ЛАЧХ мало влияет на показатели качества, то при её построении руководствуются простотой реализации корректирующего устройства. Если выполняется условие , то влиянием звеньев,

Рис.7.3

имеющих частоты сопряжения ω_i, можно пренебречь.

Передаточная функция желаемой системы записывается по параметрам желаемой ЛАЧХ и имеет вид:

(7.8)

Далее при синтезе корректирующих устройств эта передаточная функция уточняется в соответствии с высокочастотной частью ЛАЧХ нескорректированной системы.

Изложим пошаговый способ построения желаемой ЛАЧХ.

После определения координат рабочей точки с учетом поправки на 3 ÷ 6 дБ проводится низкочастотная асимптота с наклоном –1. Эта прямая на частоте равной 1 определяет коэффициент усиления желаемой системы К_Ж. Запишем в логарифмических координатах уравнение прямой низкочастотной асимптоты:

, дБ (7.9)

Так как точка с координатами (ω =1 с^–1; К_Ж, дБ) принадлежит прямой (7.9), то легко определяется L_а _. Свободный член (7.9) L_а можно определять по параметрам рабочей точки или любой точки, принадлежащей низкочастотной асимптоте:

Подставляя L_а в (7.9), получим уравнение низкочастотной асимптоты:

(7.10)

Примем, что первый излом желаемой ЛАЧХ происходит на рабочей частоте, где коэффициент передачи равен L(ω_p) = L_p. В этом случае первая частота сопряжения желаемой ЛАЧХ совпадает с рабочей частотой, что является необязательным условием (см. рис.7.3). Тогда точка с координатами (ω_р; L_p) принадлежит также и второй асимптоте с наклоном –2, уравнение которой в общем виде: .

Считая начальными условиями для построения второй асимптоты координаты первого излома ЛАЧХ (ω_р; L_p), найдем свободный член L_b: . Окончательно уравнение 2-ой асимптоты будет:

(7.11)

Прямая (7.11), в свою очередь, имеет общую точку со среднечастотной асимптотой. Эта точка принадлежит второй частоте излома – ω₂. Если принять из рекомендуемого диапазона (12 ÷ 16 дБ) значение амлитуды на этой частоте, например L(ω₂) = 16 дБ,, то можно, используя (7.11), рассчитать числовое значение ω₂ и далее Т₂ =1 / ω₂.

и тогда

Далее запишем уравнение среднечастотной асимптоты, начальными значениями для которой могут служить частота ω₂ и L(ω₂):

Окончательно уравнение среднечастотной асимптоты примет вид:

(7.12)

Частота ω₃, определяющая постоянную времени Т₃, рассчитывается по (7.12), исходя из выбранного уровня (–12 ÷ –16) дБ амплитуды, на котором происходит переход среднечастотной части желаемой ЛАЧХ к высокочастотной (с –1 наклона на –2 наклон).

Уравнение (7.12) среднечастотной асимптоты позволяет при необходимости вычислить значение частоты среза.

Приведем числовые примеры построения желаемой ЛАЧХ.

Пример 1.

Построить желаемую ЛАЧХ и записать её передаточную

функцию по следующим данным:

– закон входного воздействия ;

– установившаяся ошибка ;

– коэффициент перерегулирования ;

– время регулирования при допуске t_р≤ 0,2 с.

Решение. Определим минимальный коэффициент передачи на рабочей частоте ω_р=0,6 с^–1.

С учетом поправки, которую принимаем равной 4дБ, коэффициент передачи на рабочей частоте будет равен (1995,3). По уравнению (7.9) (с начальными условиями ω_р=0,6 с^–1; L₁=66 дБ) определяем его свободный член.

Уравнение первой низкочастотной асимптоты

(7.13)

позволит вычислить коэффициент усиления желаемой системы – L_ж (К_ж, дБ), определяемый на частоте ω=1с^–1. Используя (7.13), получим . В безразмерных единицах К_ж= 1196,7. Округляем К_ж =1197.

Считая, что рабочая точка принадлежит также и 2-ой асимптоте, получим её уравнение (7.11).

. Приняв L₂=L_p, а ω = ω_р, получим

Уравнение 2-ой асимптоты окончательно выглядит:

. Это уравнение используется для вычисления второй сопрягающей частоты ω₂, задавшись значением уровня, с которого строится среднечастотная асимптота. Принимаем значение уровня равным 12 дБ, которое и подставляем в последнее равенство.

. Искомая частота ω₂ = 13,44 с^–1. Соответствующая этой частоте постоянная времени Т₂ = 1 / ω₂ = 0,074 с.
Получим уравнение среднечастотной асимптоты, используя начальные условия: L(ω₂) = 12 дБ

дБ.

Тогда окончательно уравнение среднечастотной асимптоты при-мет вид: .

Из последнего равенства допуская, что среднечастотная аси-мптота претерпевает излом на уровне –12 дБ, вычислим третью частоту сопряжения.

. Из последнего равенства определяется частота ω₃ = 213,1 с^–1. По полученным результатам расчета:

К_ж= 1197 (61,56 дБ); Т₁= 1,67 с.; Т₂ = 0,074 с.; Т₃ = 0,0047 с. записываем первое приближение передаточной функции желаемой системы:

(7.14)

По (7.14) строится желаемая ЛАЧХ (рис.7.4) и моделированием проверяются динамические показатели качества (рис.7.5)

Рис.7.4

Рис.7.5

Полученные результаты: σ = 16,6% <20%; t_p = 0,145 с < 0,2 c. дают основание продолжить синтез корректирующего устройства.

Пример 2. Сформировать желаемую ЛАЧХ по следующим данным:

– максимальная скорость объекта управления – α׳ = 1,2рад/с;

– максимальное ускорение объекта управления – α״ = 0,3 рад/с²;

– установившаяся ошибка при гармоническом управляющем воздействии – ε_m ≤ 0,0026 рад.;

– коэффициент перерегулирования σ ≤20%;

– время регулирования при допуске t_p ≤ 0,16 c.

Решение. Рассчитаем параметры эквивалентного входного воздействия.

Рабочая частота ;

Амплитуда

Определяем координаты рабочей точки:

После введения поправки на 4 дБ и округления в большую сторону принимаем следующие координаты рабочей точки:

. (7.15)

Запишем уравнение 1-ой низкочастотной асимптоты

. (7.16)

Свободный член L_a определим, используя координаты рабочей точки, принадлежащей этой асимптоте.

Подставив в уравнение (7.16) ω =1 с^–1и L_a = 58 дБ, определяем К_ж.

К_ж = 58 дБ (К_ж = 794).

Уравнение 2-ой асимптоты, проводимой с наклоном –2:

Считая рабочую точку, принадлежащей также и второй асимптоте, определяем свободный член L_b и уравнение принимает окончательный вид:

. (7.17)

Уравнение (7.17) позволяет определить значение 2-ой частоты излома, на которой аплитуду принимаем равной 12 дБ.

12 .

Уравнение среднечастотной асимптоты:

Свободный член L_с определяется из условия L₃ = 12 дБ на частоте . . Тогда уравнение среднечастотной асимптоты окончательно примет вид:

. (7.18)

Равенство (7.18) позволяет рассчитать частоту ω₃третьего излома желаемой ЛАЧХ, если положить L₃= –12дБ:

.

По рассчитанным частотам сопряжения определяем соответствующие им постоянные времени:

По построенной желаемой ЛАЧХ (рис.7.6, ЛАЧХ 1) записываем

Рис.7.6

её передаточную функцию:

, которую используем при моделировании для оценки динамических показателей качества. Математическое моделирование в программном комплексе МВТУ[1] дало (рис.7.7) следующие результаты: σ = 17% (h_max₁ = 1,17), t_p₁= 0,27 c.

Сопоставляя полученные результаты с требуемыми значениями, можно увидеть, что время регулирования больше (t_p₁= 0,27 c > 0,16 c). Необходимо внести поправки. Оставаясь на первой асимптоте, сместим рабочую точку на частоту ω = 0,4 с^–1. Выполнив расчеты по методике предыдущего примера, получим частоты сопряжения (ω₁= 0,4 с^–1; ω₂= 8,95 с^–1; ω₃= 141,9 с^–1), используя которые построим ЛАЧХ 2 и запишем передаточную функцию:

.

Проверка динамических показателей путем математического моделирования дала следующие результаты (рис.7.7): σ = 16,6%

(h_max₂ = 1,166), t_p₂= 0,216 c. Следует отметить, что смещение рабо-

Рис.7.7

чей точки с целью снижения времени регулирования правильное, но недостаточное. Опять оставаясь на первой асимптоте, сместим рабочую точку на частоту ω = 0,8 с^–1. По принятой методике и известным уравнениям получим новые частоты сопряжения (ω₁= = 0,8 с^–1; ω₂= 12,68 с^–1; ω₃= 200,9 с^–1), используя которые строится

ЛАЧХ 3 (рис. 7.6) и записывается передаточная функция:

(7.19)

Математическое моделирование дает следующие результаты (рис.7.7): σ = 16 % (h_max₃ = 1,16), t_p₃= 0, 15 c. Таким образом, ЛАЧХ 3 и соответствующая ей передаточная функция (7.19) удовлетворяет требованиям по показателям качества.

Если переходная функция имеет больший, чем требуется коэффициент перерегулирования, то необходимо увеличивать длину среднечастотной асимптоты сначала в область высоких частот.

Контрольные вопросы

1. Что понимается под определениями желаемая передаточ-

ная функция, желаемая ЛАЧХ?

2.Каким основным требованиям должна удовлетворять же-

лаемая ЛАЧХ? Перечислите динамические показатели ка-

чества.

3. Поясните содержание основных этапов формирования же

лаемой ЛАЧХ.

1. В отсутствие заданного гармонического закона входного

воздействия, как рассчитать эквивалентный ему закон и

какие данные для этого требуются?

2. Какими координатами определяется местонахождение ра-