double arrow

Синтез дискретных регуляторов

В последнее время получили распространение системы, управляемые с помощью цифровой машины, которая реализует алгоритм управления. Преобразователь аналог-код (Н-Д) осуществляет квантование непрерывного сигнала по времени и по уровню, формируя дискретный сигнал y(kT), который обрабатывается микропроцессором с целью получения управляющего воздействия u(kT). Преобразователь код-аналог (Д-Н), называемый также экстраполятором, формирует из дискретной управляющей последовательности непрерывный сигнал управления, воздействующий на управляемый объект.

Квантование по времени с постоянным шагом T заменяет непрерывный сигнал x(t) импульсной последовательностью

(10.1)

Применив к импульсному сигналу преобразование Лапласа, получим формулу прямого дискретного преобразования Лапласа

(10.2)

Более удобную формулу для вычисления последнего можно записать, если (10.1)

представить как произведение непрерывной функции x(t) и последовательности дельта-функций, которому в области изображений отвечает интеграл свертки в области изображений

Ось интегрирования разделяет особенности изображений функций, участвующих в произведении. Интегрирование с помощью вычетов в полюсах x(s) слева от оси интегрирования дает рабочую формулу для вычисления дискретного преобразования Лапласа

в полюсах x(p) (10.3)

Справа от оси интегрирования оказывается счетное число простых полюсов

, Интегрирование по контуру, охватывающие эти полюсы, приводит к важному соотношению

из которого, в частности, следует, что изображение дискретного сигнала является периодической функцией с периодом . Спектр непрерывного сигнала после квантования меняется кардинально

(10.4)

Заметим, что отсюда, в частности, следует теорема Котельникова, известная также как теорема отсчетов Шеннона. А именно, исходный непрерывный сигнал, ограниченный частотой , можно выделить из квантованной последовательности, если выполняется соотношение

то есть частота квантования должна быть, по меньшей мере, вдвое больше максимальной частоты непрерывного сигнала.

Соотношение (10.4) характеризует эффект транспонирования или переноса частот. В частности, высокочастотная помеха, не проявляющая себя в непрерывных системах из-за фильтрующих свойств объекта управления, после квантовании может проявиться в виде низкочастотной помехи в полосе пропускания системы. Это обстоятельство приходится учитывать при проектировании введением дополнительных фильтров.

Подстановка

(10.5)

в соотношение (10.2) дает формулу прямого z-преобразования

для вычисления которого удобнее пользоваться интегральным соотношением, которое получается из (10.3) подстановкой (10.5)

в полюсах x(p)

Для вычисления временной последовательности x(kT) пользуются формулой обратного z-преобразования

Дискретные модели непрерывных объектов получают, рассматривая непрерывные реакции в тактовые моменты времени kT, k=0,1,2,…

Ограничимся рассмотрением экстраполяторов нулевого порядка, просто запоминающих значение поступающего на его вход сигнала в течение тактового периода.

Такой преобразователь описывается передаточной функцией

Для непрерывного объекта, описание которого в пространстве «вход-выход» задано передаточной функцией , расчетную дискретную модель найдем, вычисляя

z-передаточную функцию соединения экстраполятора и объекта

где через Z{.} обозначено z-преобразование выражения в фигурных скобках.

Учитывая известное свойство z-преобразования последнюю формулу удобно переписать в виде

Передаточная функция W(z) описывает поведение непрерывного объекта в тактовые моменты времени. При необходимости из передаточной функции легко записывается соответствующее разностное уравнение.

Если объект управления задан непрерывными уравнениями состояния с матрицами , и С, то разностные уравнения найдем с помощью матрицы перехода. Запишем уравнение связи вход-выход по вектору состояния для одного шага через матричную экспоненту

Поскольку внутри интервала квантования значение управления с выхода экстраполятора нулевого порядка остается постоянным, уравнения состояния непрерывного объекта с дискретным временем можно сразу записать в привычном для дискретных систем виде

где

Альтернативный подход к синтезу дискретных регуляторов предлагает решать задачи управления, оставаясь в рамках непрерывных систем. При этом синтезируется непрерывный регулятор, который затем реализуется цифровыми методами.

Преобразователи вносят в систему дополнительное запаздывание величины, равно половине периода квантования. Поэтому синтез регуляторов при их последующей реализации на микропроцессоре следует выполнять для модифицированного объекта, отличающегося от исходного наличием звена чистого запаздывания

Модальное управление. В задаче модального управления решается частная задача выбора регулятора, который обеспечивает желаемое расположение корней характеристического уравнения замкнутой системы.

Будем считать известными уравнения состояния. Желаемое расположение корней отвечает желаемому характеристическому уравнению замкнутой системы

Управление сначала будем считать скалярной функцией, то есть матрица управления является столбцом. Регулятор замыкает объект управления по вектору состояния, или что тоже, управление ищется в виде линейной комбинации состояний

(1)

Коэффициенты искомого регулятора K можно отыскать непосредственным вычислением характеристического уравнения замкнутой системы и отождествлением его с желаемым. Для этого, размыкая систему на выходе регулятора, запишем передаточную функцию разомкнутой системы, считая входным воздействием управление, а выходным сигналом – реакцию регулятора.

Передаточная функция является скалярной. Поэтому характеристическое уравнение D(z) замкнутой системы найдем как сумму числителя и знаменателя передаточной функции

Здесь через обозначена соответствующая присоединенная матрица, а -определитель этой матрицы.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях z, получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов регулятора. Поскольку искомая матрица K входит линейно, ее элементы определяются без труда.

В модальном управлении задаются желаемыми корнями характеристического уравнения замкнутой системы, выбор которых диктуется целями управления и характеристиками объекта. Особый интерес представляют нулевые собственные значения. При этом характеристический полином замкнутой системы записывается в виде

и из теоремы Кэли-Гамильтона нетрудно заключить, что матрица состояния замкнутой системы удовлетворяет соотношению

Такой выбор регулятора обеспечивает конечное время переходных процессов при отработке ненулевых начальных условий или импульсных возмущений. Единственным свободным параметром оказывается период квантования. Переходный процесс заканчивается за n шагов.

Реализация законов управления вида (1) в приложениях практически невозможна, поскольку вектор состояния целиком никогда не измеряется и его приходится восстанавливать по измеренным выходным координатам. Ясно, что для этого система должна быть наблюдаемой.

Итак, для системы с уравнениями состояния будем искать оценку вектора состояния по выходным координатам как реакцию некоторой динамической системы.

Наблюдающее устройство для оценки вектора состояния описывается уравнениями состояния

Выбором матрицы R можно обеспечить желаемую скорость сходимости. Задаваясь корнями наблюдателя, нетрудно найти элементы матрицы R прямыми вычислениями.

Для определения матрицы R можно также воспользоваться результатами уже решенной задачи модального управления. Поскольку транспонированная матрица имеет те же собственные значения, как и исходная, то можно потребовать, чтобы матрица имела заданные значения. Такая постановка в точности совпадает с задачей модального управления. При этом матрица наблюдаемости

должна иметь полный ранг. Как и в модальном управлении, оценивание может быть завершено за конечное число шагов. Для этого собственные значения наблюдателя выбираются нулевыми.

Пример 10.1 Пусть объект управления описывается двойным интегрирующим звеном с уравнениями состояния

Соответствующие матрицы для уравнений с дискретным временем

, .

Разомкнутая система описывается передаточной функцией

Приравнивая характеристическое уравнение замкнутой системы желаемому

и отождествляя коэффициенты при одинаковых степенях, найдем искомые коэффициенты

, .

Пример 10.2 Найдем наблюдающее устройство для объекта, заданного двойным интегратором. Учитывая значения матриц A и B из примера 10.1 и , найдем матрицу наблюдателя

и соответствующее характеристическое уравнение

Отождествляя коэффициенты этого уравнения с коэффициентами желаемого характеристического уравнения наблюдателя

найдем искомые коэффициенты

В частности, для наблюдателя с конечным временем переходного процесса эти коэффициенты имеют значения

Алгебраический синтез в пространстве вход-выход. Исходное описание объекта управления обычно задано уравнениями, отличными от уравнений состояния, а сам объект характеризуется дробно-рациональной передаточной функцией. Цели синтеза регуляторов были рассмотрены выше. В частности, регулятор должен, например, обеспечить заданные значения характеристического полинома замкнутой системы. В более общей постановке требуется с помощью регулятора получить заданную передаточную функцию замкнутой системы.

Объект управления описывается передаточной функцией и включает в себя экстраполятор, необходимые измерители, исполнительные элементы и дополнительные фильтры, призванные исключить влияние транспонированных возмущений.

Рис. 10.1

Традиционный подход предполагает выбор регулятора в прямой цепи (Рис. 10.1) так, чтобы замкнутая система отвечала желаемой передаточной функции

Разрешая последнее выражение относительно передаточной функции регулятора , получим

Синтез регулятора выполняется на первый взгляд тривиально. Однако следует соблюдать осторожность при выборе желаемой системы. Проблемы, возникающие при назначении обладающей желаемыми свойствами передаточной функции, связаны, с одной стороны, с известными трудностями при попытках связать прямые показатели качества систем с видом передаточных функций. С другой стороны, нельзя просто компенсировать нули и полюсы объекта управления вне круга единичного радиуса. Иначе говоря, при выборе приходится учитывать ряд ограничений.

Регулятор должен быть физически реализуемым, порядок числителя его передаточной функции не может быть больше порядка знаменателя. Поэтому у желаемой передаточной функции разность порядков знаменателя и числителя не должна быть меньше соответствующей разности тех же порядков объекта.

Если объект содержит нули или полюсы вне единичного круга, то простое сокращение их с помощью регулятора недопустимо, поскольку гарантированно приводит к появлению таких корней в характеристическом уравнении замкнутой системы, а следовательно, к неустойчивости системы. Поэтому при синтезе приходится принимать меры к исключению такого сокращения.

В частности, желаемая система должна содержать в качестве своих нулей все нули объекта W(z) вне единичного круга, а. неустойчивые полюсы объекта управления должны быть нулями функции .

К желаемой системе могут предъявляться требования по статической точности.

Чтобы установившаяся ошибка при ступенчатом воздействии была нулевой, желаемую систему выбирают так, чтобы выполнялось условие

где не содержит полюсов при z=1. Обобщая этот результат, найдем, что нулевая установившаяся ошибка при полиномиальном воздействии g степени k

достигается, если

)

и не содержит полюсов при z=1.

Переходные процессы в системе завершаются за конечное время, если передаточная функция системы описывается полиномом аргумента

Перечень формализованных требований к желаемой системе может быть продолжен. При этом всегда выбирают минимальную реализацию системы, удовлетворяющую исходным условиям.

Пример 10.3. Для рассмотренного выше двойного интегрирующего звена (объекта) выберем регулятор, обеспечивающий конечное время переходных процессов и нулевую установившуюся ошибку на линейное воздействие.

Объект с экстраполятором нулевого порядка описывается передаточной функцией

с разностью порядков знаменателя и числителя равной единице.

Чтобы установившаяся ошибка на линейное воздействие была нулевой, потребуем выполнения условия

Точно такое же равенство придется записать, чтобы избежать сокращения кратного полюса z=1. Нуль объекта z=-1 добавляет еще одно условие

Выберем неизвестные функции так, чтобы порядок полинома передаточной функции желаемой системы был минимальный

Подставляя последние равенства в ограничивающие условия для желаемой системы и отождествляя коэффициенты при одинаковых степенях z, получим систему уравнений для вычисления неизвестных коэффициентов

Решив эти уравнения, находим искомые коэффициенты

Итак, желаемая передаточная функция будет равной

а передаточная функция регулятора

Можно убедиться, что, как и следовало ожидать, найденный регулятор обладает форсирующими свойствами.

Дискретная реализация непрерывных регуляторов. Необходимость реализации аналоговых регуляторов на микропроцессорах возникает, например, при модернизации эксплуатируемых технических средств. Напомним, что регулятор выбирается для модифицированного объекта, где учитывается влияние запаздывания в цепях преобразователей и счетно-решающих устройств. Поэтому выбор периода квантования предшествует синтезу управляющего устройства. При выборе частоты квантования ориентируются на теорему Котельникова.

В практике управления получило распространение следующее правило: частота квантования должна быть на порядок больше полосы существенных частот объекта. Поскольку построение логарифмических частотных характеристик управляемого объекта при проектировании систем частотными методами является необходимым этапом, можно считать известными и полосу пропускания системы, и определяемый ею диапазон рабочих частот.

Звено чистого запаздывания часто заменяют дробно-рациональной аппроксимацией

)

Непрерывный регулятор, заданный своей передаточной функцией , реализуется в виде численного алгоритма микропроцессора. Наибольшее распространение на практике получил подход, основанный на численном интегрировании методом трапеций, известный в западной литературе как преобразование Тастина. Разностная схема интегрирования ошибки e(t) методом трапеций представляется разностной схемой

,

которой отвечает z-преобразование

Другими словами, непрерывному оператору интегрирования соответствует дискретная аппроксимация. Отсюда следует простое правило вычисления дискретной реализации непрерывных фильтров

(10.6)

Это преобразование отличает легкость применения и ряд полезных свойств, обеспечивших его популярность среди проектировщиков. Отметим, в частности, что левая полуплоскость при этом отображается в круг единичного радиуса.

Пример 10.4. Пусть объект задан двойным интегрирующим звеном

Из частотных характеристик объекта нетрудно заключить, что период квантования может быть назначен T=0.02 с. Выбирая простую дифференцирующую цепочку в качестве непрерывного регулятора

подстановкой (10.6) получим дискретную передаточную функцию регулятора

которой соответствует разностное уравнение

Другой подход, эксплуатирующий опыт синтеза непрерывных регуляторов, носит название метода w-преобразования. Исходное описание объекта при этом задано

дискретной передаточной функцией W(z). Частотная характеристика, соответствующая дискретной передаточной функции W(z) при, оказывается трансцендентной функцией, построение которой намного сложнее привычных для непрерывных систем логарифмических амплитудных характеристик. W-преобразование заменяет трансцендентные функции дробно-рациональными. При этом у новых системных характеристик свойства оказываются близки к свойствам передаточных функций непрерывных систем.

W-преобразование – это билинейное преобразование

, (10.7)

которое отображает круг единичного радиуса z-плоскости на всю левую полуплоскость. Подстановка (10.7) является взаимно однозначным отображением и изменяет частотную характеристику согласно следующему соотношению

При значениях частоты много меньших частоты квантования, соответствующих рабочему диапазону частот системы

Частотная характеристика W(z) есть , тогда как частотной характеристикой W(w) будет W(jw).

Пример 10.5. Вернемся к последнему примеру и найдем корректирующее устройство для объекта, заданного двойным интегрирующим звеном с передаточной функцией

Динамика объекта позволяет назначить период квантования T=0,02 c.

Дискретная передаточная функция объекта с эстраполятором нулевого порядка будет равна

Применяя к последнему соотношению w-преобразование, найдем отвечающую ему передаточную функцию W(w)

Заметим, что в отличие от исходной передаточной функции объекта, заданного двойным интегрирующим звеном, передаточная функция W(w) содержит неминимально-фазовое звено, учитывающее прохождение сигнала через преобразователи. Принимая во внимание значения коэффициента усиления и периода квантования, выберем дифференцирующее корректирующее устройство с передаточной функцией

Возвращаясь к z-преобразованию, получим передаточную функцию дискретного корректирующего устройства

что в точности совпадает с результатом предыдущего примера. Такое совпадение не случайно и свидетельствует о близости соответствующих методов синтеза.


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



Сейчас читают про: