а) Тень конической арки в форме усеченного полого полуконуса, лежащего на Н, представлена на рис. 13 и построена при заданном луче рр'.
Для отыскания на плане линии ks, отделяющей освещенную часть поверхности конуса от неосвещенной, используем правило 1. Строим воображаемую тень sos'о от вершины S на плоскость Р основания конуса и на фасаде из s'o проводим касательную к кривой основания в точке k', которую затем по вертикали переносим на план в k. Соединяя k с s, и k' с s' мы и получаем проекции искомой теневой образующей. Если после этого построить на Н тень k0 от kk', найдя горизонтальный след k0 луча, проведенного через kk', и соединить ko с s, то получится тень на Н от теневой образующей конуса. Построение тени, падающей на Н от арки, завершится, если из точек 7 и 5 на плане провести полуэллипс, касающийся линии kos в точке ko, и другой полуэллипс через точки 8 и 9, параллельный первому и касающийся к той же линии. Для построения кривой k'3'6', являющейся тенью на фасаде внутри арки, следует найти пересечение с внутренней поверхностью конуса цилиндрической лучевой поверхности, образованной движением луча света (остающегося параллельным самому себе) по кривой направляющей, являющейся основанием конуса. Для этого проводим вспомогательные секущие плоскости через прямую SSo, проведенную из S параллельно образующим лучевого цилиндра, так как такие плоскости будут давать простейшие сечения на конусе и на лучевом цилиндре, именно — образующие. Проводим, например, след s01' на плоскости Р основания конуса через точку 1' фасада и отмечаем точку 2' пересечения его с кривой основания конуса.
Линия 2's' будет вертикальной проекцией линии сечения проведенной вспомогательной плоскости с поверхностью конуса. Линия 1'3' параллельная вертикальной проекции луча, будет вертикальной проекцией линии сечения той же плоскости с поверхностью лучевого цилиндра (следует учесть, что основание конуса и цилиндра общее). Стало быть, точка 3' есть вертикальная проекция точки, лежащей как на поверхности конуса, так и на поверхности лучевого цилиндра.
Чтобы найти точку IV основания конуса, луч из которой падает на пятовую образующую V — S конической арки, поступаем так. Точку 5' соединяем с s'o и получаем, таким образом, след на Р плоскости, проходящей через S и через пятовую образующую. Такая плоскость пересечет цилиндр лучей по такому лучу, вертикальная проекция которого пойдет из точки 4' пересечения следа 5's'0 с проекцией основания конуса. Следовательно, точка 6' и будет вертикальной проекцией тени, падающей or точки IV дуги арки на пятовую образующую. Точка k' очевидно, будет начальной точкой искомой теневой кривой. Соединив на фасаде точки k', 3' и 6' плавной кривой, получаем на фасаде контур тени от дуги арки на внутреннюю поверхность арки. Следует учесть, что эта кривая есть часть дуги эллипса, так как она есть результат пересечения таких цилиндра и конуса, которые построены на общей направляющей, являющейся основанием конуса (теорема о распадении кривой пересечения).
б) Тень цилиндрической арки в форме полого полуцилиндра, лежащего на Н, представлена на рис. 14 и построена при направлении луча света рр'. Прежде всего определяется по правилу 2 точка kk', из которой выходит теневая образующая цилиндра, как точка касания к кривой основания цилиндра прямой, параллельной линии cb - с'b' являющейся воображаемой тенью, падающей на вертикальную плоскость Р основания цилиндра от отрезка ас — а'с', параллельного оси цилиндра и
взятого в произвольном месте.
Рис. 14
При этом точка сс' — конец отрезка, как лежащая в плоскости Р основания цилиндра, сама себе тень, а от точки аа' тень падает, как видно, в точку bb'. Тень, падающая от полуцилиндра на Н, построена после того, как найдена точка k0 — тень на Н от точки касания kk'. Через k0 пойдет тень на Н от теневой образующей самого цилиндра в виде прямой, параллельной оси цилиндра. Она будет касаться (с одной стороны в точке k0 ) к полуэллипсам, являющимся тенями на Н от полукруглых дугарки. Для правильного начертания этих полуэллипсов можно около полукруглых оснований арки описать прямоугольники и сначала построить тени этих прямоугольников на Н в форме параллелограмов, а затем вписать в последние полуэллипсы.
На рис. 14 показано построение тени g0 от одной вершины переднего прямоугольника. Эта точка g0 и позволит построить весь параллелограм, так как линия gofo должна быть параллельна и равна линии fg. Параллелограм, являющийся тенью от заднего прямоугольника, нет необходимости строить, так как задний полуэллипс строится как параллельный переднему.
Видимая на фасаде кривая k' — 10 — 9' является проекцией тени, падающей от дуги арки на внутреннюю поверхность арки. Эта кривая в пространстве есть результат пересечения данного цилиндра с цилиндром лучей, и так как эти цилиндры имеют общее основание, кривая пересечения их есть эллипс. Чтобы построить точку X встречи с внутренней поверхностью арки луча, выходящего из произвольной точки I дуги арки, проводим через этот луч плоскость I — X — XI, параллельную плоскости треугольника ABC. Такая плоскость рассечет цилиндр-арку по образующей X — XI, а цилиндр лучей — по образующей I — X, так как она параллельна такой плоскости ABC, у которой линия АС параллельна образующим цилиндра-арки, а линия АВ параллельна образующим цилиндра лучей, и, кроме того, линия I — XI является следом плоскости I — X — XI на плоскости Р основания цилиндра. Следовательно, чтобы найти на фасаде точку типа 10', нужно взять произвольную точку 1' на дуге арки, провести прямую 1'—11' параллельно с'b' до встречи с дугой арки в точке 11', а прямую 1' — 10' —параллельно а'b' до встречи в точке 10' с прямой 11'—10', параллельной а'с'. Чтобы найти точку 8' на дуге арки, из которой проекция луча попадает в точку 9' на проекцию пятовой образующей арки, проводим из конца е' проекции этой пятовой образующей линию е'8', параллельную с'b', до встречи с дугой арки в точке 8'. Прямая, проведенная через точку 8', параллельна a'b' и дает точку 9'. Найденные точки k', 10' и 9' позволяют приближенно начертить дугу эллипса
k'10,11', являющуюся искомой тенью, падающей от дуги арки на внутреннюю её поверхность.
На рис. 14 показано еще построение тени, падающей на Н и на поверхность цилиндра от экрана в форме прямоугольника QRS с вертикальным катетом RS и вершиной в точке ss'. Ход построения при помощи метода обратных лучей следующий.
1)Сначала построена тень на Н треугольника путем нахождения точки Ms как горизонтального следа луча из S. 2) Затем отброшены тени на H от двух произвольных образующих арки I—II и III — IV, (см. линии 1020 и 3040 ); для этого достаточно было, очевидно, из точек 1 и 3 провести горизонтальные проекции лучей до встречи с эллиптической тенью от дуги арки и из точек встречи провести прямые, параллельные проекциям образующих цилиндра. 3) После этого отмечены точки 70,60,50 пересечения тени гипотенузы с тенями от образующих цилиндра и из этих точек проведены проекции обратных лучей до встречи в точках 7, 6 и 5 с проекциями соответственных образующих цилиндра. Плавная кривая а—5— 6—7 и будет проекцией тени, падающей от гипотенузы треугольного экрана на поверхность арки.
Что касается горизонтальной проекции тени, падающей на поверхность арки от вертикального катета треугольника, то, поскольку лучевая плоскость Q, проходящая через него, является проектирующей на Н, тень на Н от катета будет в форме прямой, совпадающей с проектирующим следом плоскости. По горизонтальной проекции тени определена затем и вертикальная проекция.
На рис. 15 показано на фасаде построение теневой образующей k' - k' на четверти цилиндра В, насаженного на усеченную пирамиду А. Задачу практически можно решить так. Пусть а'o будет тенью, падающей на плоскость основания цилиндра от вершины а' пирамиды.
Следовательно, b'а'о будет тенью на той же плоскости основания от отрезка а'b', параллельного оси цилиндра. Тогда, на основании правила 2, мы имеем право провести к кривой основания касательную, параллельную b'а'o и найти, таким образом, точку k', из которой и пойдет искомая теневая образующая цилиндра. Тень а'o с ' на плоскости основания от ребра а'е ' пирамиды должна при продолжении пройти через точку d' пересечения ребра е'а' с линией т' b' пересечения грани пирамиды с плоскостью основания цилиндра. Отсюда следует: чтобы найти тень, падающую от ребра на грань, достаточно иметь одну точку этой тени, как так второй точкой будет точка встречи ребра с гранью.
Это указание чрезвычайно облегчает построение теней на практических чертежах.
Из рассмотрения способа построения тени на рис.15 следует, что если отказаться от направления луча света по диагонали куба и задаться тенью от какой-либо точки одного тела на выбранную плоскость или поверхность другого тела, то можно строить тень из одной проекции, и притом кратчайшим способом. В частности, и на рис. 14 для построения всей тени можно было бы задаться, например, на фасаде точкой g' на пятовой образующей арки, считая ее проекцией тени от произвольно выбранной точки VIII на дуге арки, и тогда линию 8'е' надо считать фасадом тени от отрезка IX — Е на плоскости основания цилиндра или (что, очевидно, одно и то же) надо считать линию VIII—Е ортогональной проекцией луча света на плоскость основания цилиндра. Получается на фасаде замкнутый треугольник 8' — g' — е', который будет служить ориентиром для построения как проекции луча света на Н, так и всех остальных точек тени. Так, если мы построим Δ1' -10' - 11' со сторонами, параллельными сторонам названного ориентирующего треугольника, и так, чтобы сторона 1'—11'
была хордой дуги арки, то вершина 10' этого треугольника будет точкой теневой линии внутри арки. Точка k' находится как точка касания к дуге арки на фасаде прямой, параллельной проекции 8'е' луча света на плоскость основания цилиндра. Для построения всех остальных теней следует при этом методе найти горизонтальную проекцию луча света путем сноса по вертикалям на план точек 8' и g'.
в)Особенности проектирующих плоскостей, применительно к теории теней, могут быть усмотрены из рис. 16, на которой показана тень, падающая на Н, на V, на конус и на пирамиду от профильной стенки, имеющей форму параллелепипеда.
Рис. 15
Как видно, вертикальное ребро QU дает горизонтально проектирующую лучевую плоскость Р. Проекция на Н кривой, по которой эта плоскость рассекает конус S, сливается с проектирующим следом Rh, и поэтому тень на плане от вертикальной, линии всегда будет прямой линией, совпадающей с проекцией луча, независимо от того, на какую поверхность падает тень.
С другой стороны ребро RQ, перпендикулярное к фасадной плоскости, дает вертикально проектирующую лучевую плоскость М.
Эта плоскость рассекает пирамиду Т по треугольнику, проекция которого на V сливается с вертикально проектирующим следом Mv. Таким образом, тень на фасаде от линии, перпендикулярной к фасадной плоскости, всегда будет прямой линией, совпадающей с проекцией луча, независимо от того, на какую поверхность падает тень.
г) Тени, падающие на поверхность кругового конуса от плоского многоугольника, по своему очертанию дают конические сечения. На рис. 17 построена тень от экрана ABCDE на поверхности конуса. Она представляет собой замкнутую фигуру, ограниченную пятью линиями; каждая из них представляет одно из возможных характерных плоских сечений конуса.
Рис. 16
Так, IV — Bо есть гиперболическая кривая, так как лучевая плоскость, включающая эту кривую и проходящая через АВ, параллельна оси конуса и, следовательно, параллельна двум образующим конуса; В0С0 есть параболическая кривая, так как лучевая плоскость, включающая эту кривую и проходящая через ВС, параллельна одной образующей конуса (bc||sr и b'c'||s'r'); C0D0 — эллиптическая кривая, так как лучевая плоскость, включающая ее и проходящая через прямую CD, пересекает и все образующие конуса; D0V есть прямая линия, так как лучевая плоскость, включающая ее и проходящая через DE, проходит через вершину S конуса; V — IV есть дуга окружности, завершающая контур падающей тени.
Для построения этого контура использован метод обратных лучей в следующем виде.
1) От экрана ABCDE и от конуса S построены тени, падающие
на Н. Поскольку плоскость основания конуса параллельна Н, тень
от него на Н получилась в форме круга такого же диаметра. Для
определения теневых образующих ks — k's' боковой поверхности конуса найдены точки k0 — kо касания к теневой окружности теневых
образующих Msk0 — Msk0 и перенесены на плане на окружности основания конуса проекциями обратных лучей в точки k — k.
Соединение этих точек с проекцией s вершины конуса дает горизонтальные проекции искомых теневых образующих, по которым найдены и вертикальные проекции k's' — k's'.
2) Точки V и IV найдены путем переноса горизонтальных их
проекций 4 и 5 нафасад, а точка Do найдена сначала на фасаде
в виде точки d'o пересечения вертикальной проекции d'd'o светового
луча с проекцией 5's' образующей, а затем и на плане.
3) Для построения точек Во и Со через тени этих точек на Н,
именно через точки Мb и Мс, проведены вспомогательные линии
MsMb и MSMC, которые и продолжены до встречи с теневой окружностью основания в точках 20 и 10; эти последние точки перенесены
проекциями обратных лучей на проекцию окружности основания
в точки 2 и 1, которые соединены с точкой S.
Рис. 17
Тогда пересечение полученных образующих 2s и 1s с горизонтальными проекциями лучей сМс и bМb и дает точки с0 и b0, которые затем перенесены на фасад в со'bо'.
Для более точного нанесения дуг названных кривых конических сечений полезно начертить эти кривые на всей поверхности конуса, что и сделано на фасаде.
д) Изменение тени прямого кругового конуса в зависимости от изменения угла наклона образующей его к основанию показано на рис. 18. Определение контуров теней произведено по правилу 1 (рис. 11) при направлении проекций лучей света под углом 45° к Ох, что соответствует направлению луча света в пространстве по диагонали куба. Но диагональ куба, как известно, составляет с любой его гранью угол, тангенс которого равен а это соответствует углу в 35°15'54'' или с округлением в 35°.
Как видно на рис. 18, а, воображаемая тень s0 от вершины конуса падает внутрь площади основания, а это значит, что при угле наклона образующей конуса к основанию, меньшем 35°, вся поверхность конуса, обращенного вершиной вверх, освещена, а у конуса с вершиной вниз — затемнена. При угле наклона образующей в 35° луч света, проведенный через вершину, скользит по поверхности конуса и тень от S, как видно на рис. 18, б, падает в s0 на окружность основания; следовательно, вся нижняя пола конуса освещена, а вся верхняя — затемнена. Точка kk' на окружности основания считается теневой точкой и образующая sk, s'k' — теневой образующей.
Следовательно, для получения k' на фасаде нужно из s' провести линию под углом 45° до встречи с проекцией основания.
При угле наклона, большем 35° и меньшем 45° (рис. 18, в), тень от S падает в точку so вне площади основания, и на поверхности нижней полы конуса появляется теневой сектор, занимающий менее 1/4 окружности, а на поверхности верхней полы — сектор, занимающий более 3/4 окружности.
При угле наклона образующей в 45° (рис. 18, г) тень s0 от вершины S попадает в вершину описанного около основания квадрата, и поэтому на нижней поле конуса 1/4 поверхности затемнена, а на верхней поле
освещена 1/4 окружности, обращенная к источнику света.
Следовательно, теневые точки окружности основания на фасаде находятся на нижней поле конуса в середине и справа, а на верхней — в середине и слева.
При угле наклона образующей более 45° (рис. 18, а) ни нижней поле конуса будет затемнено более 1/4 поверхности, но меньше 1/2 её, а на верхней больше 1/2, но меньше 3/4 поверхности.
Легко заметить, что если вершина ss' конуса будет удаляться от основания, то тень s0 на плоскости основания будет все больше удаляться от s, и, наконец, когда вершина конуса у идет в бесконечность, т. е. когда конус обратится в цилиндр, точка s0 уйдет в бесконечность по направлению под углом 45° к Ох, обе полы конуса сольются в одну общую поверхность и 1/2, поверхности станет затемненной (рис. 18, е); из чертежа видно, как найти на фасаде расстояние а от оси до теневой образующей, не пользуясь планом. Для этого надо провести два направления под углом 45° из осевой и крайней точек до взаимной встречи и описать полуокружность, как показано на чертеже; при этом радиус цилиндра разделится в отношении 0,707 и большая часть его будет равна α.
Что касается построения теневых образующих конуса по одному фасаду, без использования плана, то, как видно (рис. 18, д), можно поступить так. Из вершины s' и из центра о' проводят два направления под углом 45° до взаимной встречи в точке с', а затем описывают одну окружность из центра с' радиусом с'о', а другую из центра о' радиусом, равным радиусу основания конуса. После этого точки 1 и 2 пересечения этих окружностей переносят по вертикалям на Ох в точки k'1 и k'2, которые соединяют с s'.
Образующие s'k'1 и s'k'2 и будут искомые теневые образующие.
Рис. 18
Рис. 19
Справедливость этого построения становится очевидной, если заметить, что окружности о' и с' представляют тот же план, но последний поднят кверху настолько, что точка о плана совмещена с точкой о' фасада.
Все разобранные случаи для конуса следует запомнить, чтобы можно было в последующем, не пользуясь планом, строить тени на фасадах конусов, используемых как вспомогательные поверхности, описанные около поверхностей вращения, при построении теней последних.
е) Тень, падающую от прямого кругового цилиндра на фронтальную плоскость, можно построить, исходя из одного фасада и не пользуясь планом, если известен вынос оси цилиндра. В самом деле, для построения тени с'о (рис. 19) на фронтальную плоскость (в данном случае на плоскость V) от центра С окружности нормального сечения цилиндра надо отложить вправо и вниз от вертикальной проекции этого центра вынос оси ус. После этого нужно отложить от тени оси вправо и влево по 2а, где а есть расстояние от вертикальной проекции оси цилиндра на фасаде до теневой линии цилиндра. Это расстояние равно 0,707 радиуса цилиндра и определяется графическим способом, указанным выше.