Амплитудная модуляция гармонической несущей

Определение. При амплитудной модуляции амплитуда не­сущего колебания изменяется пропорционально мгновенным значе­ниям модулирующего сигнала u_K(t), т. е. получает приращение ω(t) = au_M(t) и становится равной

A(t)=A₀+ΔA(t)=A₀ + au_M(t), (3.4)

где А_о — амплитуда несущей; а — коэффициент пропорциональ­ности, выбираемый так, чтобы амплитуда A (t) всегда была поло­жительной. Частота и фаза несущего гармонического колебания при AM остаются неизменными.

Временная диаграмма AM еипнала показана на рис. 3.2, из которого видно, что в соответствии с мгновенными значениями u_M(t) амплитуда несущей А_о увеличивается до значения Аm_mах получая приращение ΔА₊ = А_maх—Ао = аu_иmах, то уменьша­ется до A_min, получая прираще­ние ΔА_- = А₀ — A_min = au_Mmin.

Рис. 3.2. Амплитудно-модулированный сигнал:

а — модулирующий сигнал u_м(2); б — AM сигнал

Об­ращает на себя внимание, что амплитуда A (t) повторяет форму модулирующего сигнала u_м(t). В AM сигнале амплитуда A (t) является огибающей высокочастотно­го заполнения cos (ω₀t + ψ₀) (на рис. 3.2,б она изображена штрихо­вой линией).

Коэффициент модуляции. Для математического опи­сания AM сигнала в (3.4) вместо коэффициента пропорциональ­ности а, зависящего от конкретной схемы модулятора, вводится коэффициент модуляции М=ΔA_Cр/A₀, физически означающий от­носительное значение приращения. Здесь ΔA_Cр= (ΔА₊+ΔA_-)/2— среднее арифметическое значение приращения амплитуды. По­скольку среднее значение амплитуды AM сигнала во время моду­ляции Ао= (A_max+A_min)/2, то коэффициент модуляции численно равен

М= ΔА_сp/А₀=Аmах—Amin) /(Amax +Amin). (3.5)

Таким образом', коэффициент модуляции — это отношение раз­ности между максимальным и минимальным значениями амплитуд AM сигнала к сумме этих значений. Часто коэффициент модуля­ции выражается в процентах М%=M*100%. Однако при всех расчетах AM сигналов обычно пользуются коэффициентом модуля­ции М не в процентах, а в относительных единицах.

Для симметричного модулирующего сигнала u_M(t) AM сигнал также симметричный: ΔА₊=ΔA_-=ΔA и

M=ΔA/A₀, (3.6)

т. е. коэффициент модуляции равен отношению максимального приращения амплитуды к амплитуде несущей. Физически М ха­рактеризует собой глубину амплитудной модуляции и может из­меняться в пределах 0≤M≤1. Однако применение термина ко­эффициент глубины модуляции, ранее встречавшегося в литера­туре, запрещено ГОСТ 24375—80.

Подставляя (3.4) в (3.1) с учетом введенного коэффициента модуляции М, получаем аналитическое выражение (математиче­скую модель) любого AM сигнала

s_AM(u_M, t)=A₀[1+M_um(t)]cos(ω₀t+ψ₀) (3.7)

Пример 3.1. Определить коэффициент модуляции AM сигнала, изображен­ного на рис. 3.2. Амплитуда сигнала отложена в линейном масштабе. Для определения коэффициента модуляции воспользуемся формулой (3.5). При расчетах знание абсолютных амплитуд необязательно, их можно привести в условных единицах (усл. ед.). За 1 усл. ед. примем 1 мм по вертикальной оси амплитуд. Тогда A_min=4 усл. ед., A_max=l2 усл. ед. и

M=(A_max—A_min)/(A_max+A_min) = (12—4)/(12+4) =0,5; М% =0,5*100 = 50%.

Амплитудная модуляция гармоническим ко-лебанием. В простейшем случае модулирующий сигнал u_M(t) является гармоническим колеба­нием с частотой Ω<<ω₀ и началь­ной фазой ψ. При этом представляет собой аналитиче­ское выражение однотонального AM сигнала.

s_AM(u_M, t)=A₀[1+Mcos(Ωt+ψ)]cos(ω₀t+ψ₀) (3.8)

На рис. 3.3 показа­ны временные диаграммы одно­тонального AM сигнала при раз­личных значениях М. Легко за­метить симметричность модуля­ции и характерные искажения при перемодуляции (рис. 3.2,е), когда форма огибающей переста­ет повторять форму модулирую­щего гармонического колебания. Однотональный AM сигнал можно представить в виде cуммы гармонических составляющих. Используя тригонометрическую формулу произведения косинусов cosλcosβ=0,5[cos(λ+β)+cos(λ-β)] из(3.8) получаем

(3.9)

Рис. 3.3. Однотональная амплитуд-

ная модуляция:

а — малый коэффициент модуляции;

б — глубокая модуляция; в — пере-

модуляция

Из (3.9) следует, что в однотональном AM сигнале имеется три гармонических спектральных составляющих с частотами: юо — не­сущей; ω₀+Ω— верхней боковой;ω₀-Ω— нижней боковой.

Спектральная диаграмма однотонального AM сигнала, по­строенная по (3.9), симметрична относительно несущей частоты ω₀ (рис. 3.4). Амплитуды боковых колебаний одинаковы и даже при М=1 не превышают половины амплитуды несущего колебания

Ао.

Амплитудная модуляция при сложном моду­лирующем сигнале. Гармонические модулирующие сиг­налы и соответственно однотональный AM сигнал на практике встречаются редко. В большинстве случаев модулирующие пер­вичные сигналы u_u(t) (см. § 2.8) являются сложными функциями рремени. Аналитическое выражение (математическая модель) AM сигнала и для этого случая можно представить в виде (3.7).

Спектр AM сигнала при сложном модулирующем сигнале u_K(t) качественно определяется из следующих рассуждений. Любой сложный сигнал uм(t) можно представить в виде суммы конечной (или бесконечной) гармонических составляющих, воспользовав­шись рядом или интегралом Фурье. Каждая ггрмоническая состав­ляющая сигнала u_м(t) с частотой Ω_івызовет в AM сигнале две боковые составляющие с частотами ω₀±Ω_і Множество гармони-

ческих составляющих в модулирующем сигнале SQj вызовет мно­жество боковых составляющих с частотами ∑(ω₀±Ω_і). Для на­глядности такое преобразование спектра при AM показано на

рис. 3.5.

Из рис. 3.5 видно, что в спектре сложномодулированного AM сигнала, помимо несущего колебания с частотой соо, содержатся группы верхних и нижних боковых колебании, образующих соот­ветственно верхнюю боковую полосу и нижнюю боковую полосу AM сигнала. При этом верхняя боковая полоса частот является масштабной копией как дискретного, так и нгпрерывного спектра модулирующего сигнала, сдвинутой в область высоких частот на величину ω₀. Нижняя боковая полоса частот также повторяет спектральную диаграмму (спектральную плотность) сигнала u_M(t), но частоты в ней располагаются в зеркальном (обратном) поряд­ке относительно несущей частоты ω₀.

Из сказанного следует важнейший вывод: ширина спектра AM сигнала АМ равна удвоенному значению наиболее высокой час­тоты F_m спектра модулирующего низкочастотного сигнала, т. е.

Δ/f_АМ⁼2F_m.

Аналитическое выражение AM сигнала получаем из (3.7) при заданных параметрах модуляции

s_AM(u_M,t)=10[1+0,95u_M(t)]cos(2π*3*10⁶t+ψ₀)

Здесь учтено, что для гармонического колебания

В.

Из (3.7) следует, что А_mах= 10(1 +0,95) = 19,5 В, а A_min= 10(1—0,95) =0,5 В.

Согласно энергетическим характеристикам AM сигнала табл. 3.1 мощности передатчика распределяются следующим образом: пиковая мощность рmах= =А²max=19,5² = 380,25 В²; средняя мощность несущей Р₀=A²о/2=10²/2=50 В²; средняя мощность боковых полос частот Р_в=Р_н = 50-0,95²/2-3,10²=2,35 В²; сред-няямощность передатчика Рам=Ро+Pв+Рн=54,7О В²; соотношение между мощностями боковых полос и несущей (Р_в+Р_н)/Ро=4,7/5О=О,О94; т. е. мощ­ности боковых полос составляют всего 9,4% мощности несущей.

Крайние частоты спектра радиосигнала (см. рис 3.5) численно равны: f_min=fo-Fmax=3*10⁶-10³=2,996-10⁶ Гц=2,996 МГц; f_max=foFmax=3*10⁶4-10³=3,004*10⁶ Гц=3,004 МГц.

Ширина спектра излучения Af_AM=2F_max= =2 *4*10³=8*10³ Гц=8 кГц.