Лабораторная работа №322
Магнитное поле тока. Закон Био — Савара — Лапласа
Цель работы: ознакомиться с методом измерения индукции магнитного поля при помощи датчика Холла, проверить закон Био-Савара-Лапласа, исследовать зависимость индукции магнитного поля в центре катушки от силы тока в катушке, изучить характер изменения индукции магнитного поля вдоль оси катушки для различных катушек
Оборудование: Датчик Холла (аксиальный),измерительный модуль Тесла, датчик перемещения, датчик тока на 6 А, универсальный измерительный блок «Кобра 3», универсальный источник питания, набор катушек и кольцеобразных проводников, ПК
Краткая теория
Одним из источников магнитного поля является проводник с током. Любой элемент проводника с током создает вокруг себя магнитное поле, которое характеризуется вектором напряженности .
В соответствии с принципом суперпозиции с помощью закона Био – Савара – Лапласа можно рассчитать напряженность магнитного поля, создаваемого проводником с током произвольной формы, в любой точке пространства.
Для этого выделим на проводнике бесконечно малый отрезок dl. Вектор, равный по величине произведению силы тока на и сориентированный по направлению тока, называют элементом тока - (рис.1).
Согласно закону Био – Савара – Лапласа, элемент тока в точке пространства создает магнитное поле, напряженность которого dН определяется по формулам:
, (1)
Рисунок 1 - Иллюстрация к закону Био-Савара-Лапласа
Из закона Био – Савара – Лапласа следует, что элементарный вектор магнитной индукции в какой-либо точке С магнитного поля перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и . Вектора , и составляют правую систему векторов. Направление вектора определяется в соответствии с правилом векторного произведения. Для нахождения направления вектора осуществляют поворот рукоятки правого винта (буравчика) по кратчайшему пути от вектора к вектору . Направление поступательного движения винта совпадает с направлением вектора напряженности магнитного поля.
Результирующую напряженность магнитного поля в данной точке пространства определяют в соответствии с принципом суперпозиции:
. (3)
Рассчитаем напряженность магнитного поля на оси витка радиусом R, по которому течет ток I (рис. 2).
Выделим на проводнике бесконечно малый элемент и проведем радиус-вектор от элемента с током I· до выбранной точки пространства, в которой определяем напряженность поля .
Разложим вектор на аксиальную и радиальную компоненты. Из соображений симметрии радиальная составляющая напряженности магнитного поля равняется нулю
. (4)
Рисунок 2 - К определению напряженности магнитного поля на оси витка
В соответствии с рис. 2 аксиальная составляющая (проекция напряженности магнитного поля на ось Z) определяется выражением
. (5)
Таким образом, напряженность магнитного поля на оси витка определяется компонентой .
Магнитное поле в веществе характеризуется вектором магнитной индукции
, (6)
где μo= 4π·10-7 Гн/м – магнитная постоянная, μ–магнитная проницаемость среды(для вакуума и воздуха μ= 1).
Согласно (5), (6) индукция магнитного поля на оси витка определяется формулой:
. (7)
Рассчитаем индукцию магнитного поля на оси катушки цилиндрической формы из проволоки, витки которой намотаны в одном направлении и плотно прилегают друг к другу. Такую катушку называют соленоидом.
Отношение числа витков соленоида к его длине называют плотностью намотки n=N/L,а отношение длины соленоида к его радиусу – относительной длиной Λ=L/R.
В соответствии с принципом суперпозиции магнитное поле соленоида представляет собойрезультат наложения полей, создаваемых несколькими круговыми токами, расположенными рядом и имеющими общую ось. Для расчета магнитного поля соленоида совместим ось zс осью катушки (рис. 3) и поместим начало координат в центр катушки.
Рисунок 3 - Иллюстрация к расчету индукции магнитного поля вдоль оси катушки.
На длине dz протекает ток Indz. Такой «виток» в точке с координатой z0создает поле, напряженность которого равна:
(8)
Результирующая индукция магнитного поля в точке z0:
(9)
Тогда в центре катушки:
. (10)
Внутри длинного соленоида (L>>R) вдали от его краев магнитное поле можно считать однородным и магнитная индукция определяется по формуле:
B = ,(11)
где µ - магнитная проницаемость среды внутри соленоида.
Формулу (11) можно получить из формулы (9), положив R = 0, т.к. L >> R.
О степени однородности магнитного поля соленоида можно судить по характеру линий магнитной индукции. Линии индукции магнитного поля соленоида изображены на рис. 4.
По густоте линий магнитной индукции судят также и о величине индукции магнитного поля. Она максимальна в центре катушки.
Рисунок 4 - Линии индукции магнитного поля соленоида