Расширение полей.
Хотелось бы, чтобы имел корень, и при этом добавленные элементы вели себя «хорошо», т.е. подчинялись всем аксиомам поля (ассоциативность сложения и умножения, коммутативность сложения и умножения и т.д.)
Как добавить?
Так как мы хотим, чтобы выполнялись все аксиомы, то мы полагаем , так как , то при возведении мнимой 1 в степень будет получаться или действительное число или линейная комбинация самого i. Таким образом, если к множеству прибавить i и применим - 4 арифметические операции, то у нас будет получаться (в декартовой записи) , - множество комплексных чисел.
Можно считать, что - это векторное пространство над базис из двух векторов 1 и i, где - это действительная координата, а - это комплексная координата.
- комплексно сопряженный;
- симметричны относительно главной оси;
- произведение комплексного числа и ему комплексно сопряженного; это длина вектора.
Так как сумма переходит в сумму, а произведение переходит в произведение, то это доказывает что сопряжение – это гомоморфизм поля .(поскольку разные элементы переходят в разные)
|
|
Для умножения используют тригонометрическую систему координат с использованием полярной системы координат.
Как преобразовать декартовые координаты в полярные и обратно?
Тригонометрическая форма записи
При умножении - длины векторов перемножаются а углы складываются.
Формула Муавра
При извлечении корня n –ой степени возникнет n различных решений, которые будут отличаться на . Корень n – ой степени из 1 , корнями n-ой степени из 1-ы будут вершины правильного n – угольника с центром в начале координат, вписанного в окружность с единичным радиусом.
Определение: Поле Р – называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен с коэффициентами из поля Р имеет хотя бы один корень. .
Основная теорема алгебры.
Теорема 1: Поле комплексных чисел алгебраически замкнуто.
Теорема 2: Для любого поля существует его расширение, которое является алгебраически замкнутым.
Теория многочленов над полем и кольцом.
Теорема Безу: Пусть К – кольцо и . Элемент является корнем многочлена тогда и только тогда, когда .
Поделим многочлен на , . Если - корень многочлена, то .
Замечание: в математическом анализе рассматривается многочлен, как некая формальная сумма степеней, а полиноминальная функция, которая (элементу а ставит в соответствие значение функции, при этом разные многочлены могут задавать одну и ту же полиноминальную функцию.
- будем задавать нулевую функцию.
Производная в кольце многочленов.
При нахождении производной использую топологию.
В математическом анализе
|
|
Правила дифференцирования:
В алгебре понятие предела часто бессодержательно.
Производная – любое отображение , которое обладает тремя свойствами.
Теорема: Дифференцирование в кольце однозначно задается значением дифференциала на многочлене х , и т значение это может быть любым многочленом из . Если , то говорят о классической производной.
Доказательство: пусть обладает тремя свойствами и ; (по свойству 1). По свойству 3 коэффициенты вынесем за знак производной.
(по индукции), можно сделать вывод, что на значения многочлена х нет никаких ограничений.
Определение: Корень называется корнем кратности , если
Теорема (о кратных корнях производной): пусть , Р – поле. имеет кратные корни в некотором расширении поля Р тогда и только тогда, когда .
Доказательство: , в другую сторону доказательство от противного. Таким образом
Обратно: Пусть , но многочлен имеет кратные корни в некотором расширении поля Р. По следствию из алгоритма Евклида . Пусть в расширении поля К многочлен имеет , тогда по доказанному ранее ,
Противоречие! 0=1, кратных многочленов нет.