Решение. Определим коэффициент ранговой корреляции Спирмена по формуле

Определим коэффициент ранговой корреляции Спирмена по формуле:

,

где х_i^{`</sup>, y<sub>i</sub><sup>`} - ранг х_i и у_i соответственно, n – число измерений.

Таблица 2

Промежуточные расчёты для определения коэффициента ранговой корреляции Спирмена

№ п/п	Xi (№ периода)	Yi (поголовье)	Yвозр	Xi'	Yi'	(Xi'-Yi')2
		204,7	185,4
		198,2	188,3
		188,3	190,9
		185,4	198,2
		190,9
		212,6
		218,4	204,7
		214,8	212,6		10,5	2,25
			214,8
			214,8
		214,8	218,4		10,5	2,25
Итого		2429,1	2429,1			126,5

Коэффициент ранговой корреляции Спирмена:

r_S= 1-6*126,5/(12*(12²-1))= 0,5577>0,4, что говорит о наличии умеренной тесноты связи между номером периода и поголовьем крупного рогатого скота.

Ряд является нестационарным, с выраженной основной тенденцией.

Соответственно, индекс сезонности необходимо определять вторым способом, для чего определим сначала теоретические значения y_t (y_t*) с помощью аналитического выравнивания по уравнению тренда.

а) Линейная модель тренда y_t = a₀ +a₁t.

На первом этапе необходимо определить параметры уравнения линейного тренда, для чего составим и решим следующую систему нормальных уравнений:

Расчёты коэффициентов модели будем проводить по формулам кривых роста оцененных МНК:

,

где - средние значения у и t соответственно.

Промежуточные расчёты приведены в таблице 1.

Таблица 1

№ п/п	y	t	t2	yt	y2	yt
	204,7			204,7	41902,09	193,46
	198,2			396,4	39283,24	195,09
	188,3			564,9	35456,89	196,72
	185,4			741,6	34373,16	198,35
	190,9			954,5	36442,81	199,98
					39601,00	201,61
	212,6			1488,2	45198,76	203,24
	218,4			1747,2	47698,56	204,87
	214,8			1933,2	46139,04	206,50
					40804,00	208,13
					40000,00	209,76
	214,8			2577,6	46139,04	211,39
Итого	2429,1			16022,3	493038,59	2429,10
Среднее значение	202,425	6,5	54,167	1335,1917	41086,55	202,43

a₀=202,425 – 1,630∙6,5= 191,827

В результате расчёта получено уравнение y_t=191,827+1,630t

Дисперсия признака t: =54,167-6,5²=11,917

Дисперсия признака у: = 41086,55 - 202,425²=110,669

Найдем линейный коэффициент парной корреляции:

В соответствии с полученным значением коэффициента корреляции, связь между факторами по модели согласно шкале Чеддока можно охарактеризовать как заметную.

б) степенная модель: y_t=a₀t ^a1

Прологарифмируем функцию y_t=a₀t ^a1.

Lgy=lga₀+а₁ lgt

Введем дополнительные переменные:

Y=lgy

A₀=lga₀

T=lgt

Тогда, получаем линейную функцию:

Y=A₀+a₁T

Таблица 2

№ п/п	y	t	У=lnу	T=lnt	T2	TY	yt	(у-уt)	(у-уt)2	(у- )2
	204,7		2,3111	0,0000	0,0000	0,0000	192,5407	12,1593	147,8481	5,1756
	198,2		2,2971	0,3010	0,0906	0,6915	196,4832	1,7168	2,9473	17,8506
	188,3		2,2749	0,4771	0,2276	1,0854	198,8268	-10,5268	110,8127	199,5156
	185,4		2,2681	0,6021	0,3625	1,3655	200,5065	-15,1065	228,2051	289,8506
	190,9		2,2808	0,6990	0,4886	1,5942	201,8191	-10,9191	119,2267	132,8256
			2,2989	0,7782	0,6055	1,7889	202,8980	-3,8980	15,1943	11,7306
	212,6		2,3276	0,8451	0,7142	1,9670	203,8147	8,7853	77,1822	103,5306
	218,4		2,3393	0,9031	0,8156	2,1126	204,6121	13,7879	190,1070	255,2006
	214,8		2,3320	0,9542	0,9106	2,2253	205,3180	9,4820	89,9078	153,1406
			2,3054	1,0000	1,0000	2,3054	205,9516	-3,9516	15,6151	0,1806
			2,3010	1,0414	1,0845	2,3963	206,5264	-6,5264	42,5939	5,8806
	214,8		2,3320	1,0792	1,1646	2,5167	207,0526	7,7474	60,0228	153,1406
Итого	2429,1		27,6681	8,6803	7,4643	20,0487	2426,3496	2,7504	1099,6629	1328,0225
Среднее	202,425	6,5	2,3057	0,7234	0,6220	1,6707	202,1958	0,2292	91,6386	110,6685

A₀=2,3057– 0,029∙0,7234= 2,284

a₀=10^2,284=192,541

В результате расчёта получено уравнение y_t=192,541∙t^0,029

Оценим тесноту связи с помощью индекса корреляции:

=0,415.

Связь между факторами по модели согласно шкале Чеддока можно охарактеризовать как умеренную.

в) Показательная модель: y_t=a₀a₁^t

Прологарифмируем функцию y_t=a₀a₁^t.

Lgy=lga₀+lgа₁ ∙t

Введем дополнительные переменные:

Y=lgy

A₀=lga₀

A₁=lga₁

Тогда, получаем линейную функцию:

Y=A₀+A₁t

Таблица 3

№ п/п	y	t	У=lnу	t2	tY	yt	(у-уt)	(у-уt)2	(у- )2
	204,7		2,3111	1,0000	2,3111	193,3725	11,3275	128,3114	5,1756
	198,2		2,2971	4,0000	4,5942	194,9397	3,2603	10,6293	17,8506
	188,3		2,2749	9,0000	6,8246	196,5196	-8,2196	67,5626	199,5156
	185,4		2,2681	16,0000	9,0724	198,1124	-12,7124	161,6040	289,8506
	190,9		2,2808	25,0000	11,4040	199,7180	-8,8180	77,7566	132,8256
			2,2989	36,0000	13,7931	201,3366	-2,3366	5,4597	11,7306
	212,6		2,3276	49,0000	16,2929	202,9684	9,6316	92,7687	103,5306
	218,4		2,3393	64,0000	18,7140	204,6133	13,7867	190,0724	255,2006
	214,8		2,3320	81,0000	20,9883	206,2716	8,5284	72,7331	153,1406
			2,3054	100,000	23,0535	207,9434	-5,9434	35,3237	0,1806
			2,3010	121,000	25,3113	209,6287	-9,6287	92,7113	5,8806
	214,8		2,3320	144,000	27,9844	211,3276	3,4724	12,0574	153,1406
Итого	2429,1		27,6681	650,000	180,344	2426,7518	2,3482	946,9901	1328,0225
Среднее	202,425	6,5	2,3057	54,1667	15,0287	202,2293	0,1957	78,9158	110,6685

a₁=10^0,0035=1,008

A₀=2,3057– 1,008∙6,5= 2,283

a₀=10^2,283=191,818

В результате расчёта получено уравнение y_t=192,818∙1,008^t

Оценим тесноту связи с помощью индекса корреляции:

=0,5356.

Связь между факторами по модели согласно шкале Чеддока можно охарактеризовать как заметную.

Исходя из полученных значений индекса корреляции и линейного коэффициента корреляции, можно сделать вывод о том, что данную зависимость лучше всего описать показательной моделью, так как значение индекса корреляции больше.

Следовательно, в качестве теоретических значений y_t* будем использовать значения y_t, полученные по показательной модели.

Определим индексы сезонности по формуле

Составим расчетную таблицу:

№ п/п	y	yt	y/yt
	204,7	193,3725	1,059	3,033	1,011
	198,2	194,9397	1,017
	188,3	196,5196	0,958
	185,4	198,1124	0,936	2,880	0,960
	190,9	199,7180	0,956
		201,3366	0,988
	212,6	202,9684	1,047	3,156	1,052
	218,4	204,6133	1,067
	214,8	206,2716	1,041
		207,9434	0,971	2,942	0,981
		209,6287	0,954
	214,8	211,3276	1,016

Определим прогнозное значение поголовья крупного рогатого скота в хозяйствах населения по каждому кварталу на 2012 год.

y_пр2012[1]*=a₀a₁¹³

y_пр2012[1]*=a₀a₁¹³

y_пр2012[1]*= 192,818∙1,008¹³=213,0403

y_пр2012[2]*=a₀a₁¹⁴

y_пр2012[2]*= 192,818∙1,008¹⁴=214,7669

y_пр2012[3]*=a₀a₁¹⁵

y_пр2012[3]*= 192,818∙1,008¹⁵=216,5076

y_пр2012[4]*=a₀a₁¹⁶

y_пр2012[4]*= 192,818∙1,008¹⁶=218,2622

y_пр2012[1]= 213,0403∙1,011=215,4177

y_пр2012[2]= 214,7669∙0,960=206,1816

y_пр2012[3]= 216,5076∙1,052=227,779

y_пр2012[4]= 218,2622∙0,981=214,037