Математическим ожиданием (ожидаемым значением или средним значением) дискретной случайной величины называют число M (X) = x 1 p 1 + x 2 p 2 +...+ xnpn – сумму произведений всех ее возможных значений на их вероятности. Математическое ожидание измеряется в тех же единицах, что и сама величина. Если все значения случайной величины равновероятны, то математическое ожидание совпадает со средним арифметическим значением. Математическое ожидание случайной величины Х указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения Х.
Пример 1. Закон распределения вероятностей дискретной случайной величины задан в виде таблицы. Найти математическое ожидание этой величины.
Х | -4 | -3 | -2 | -1 | |||||
Р | 0,02 | 0,03 | 0,1 | 0,15 | 0,4 | 0,15 | 0,1 | 0,03 | 0,02 |
Решение.
Случайная величина является дискретной, т.к. принимает конечное множество значений. По определению математического ожидания получаем:
Пример 2. Для проведения лотереи изготовили 100 билетов. Из них 1 билет с выигрышем 500 рублей, 10 билетов по 100 руб и остальные по 5 рублей (беспроигрышная лотерея). Наудачу выбирают билет. Найти математическое ожидание выигрыша.
|
|
Решение:
Построим закон распределения случайной величины Х – размера выигрыша.
Х | |||
Р |
Математическое ожидание случайной величины Х равно:
Для того чтобы лотерея приносила доход, цена билета должна быть больше, чем средний выигрыш, например 30 руб. (Доход 3000 – 1945 = 1055 руб.). Отдельный игрок может и выиграть, но в конечном итоге доход будет у организатора лотереи.
Механическая интерпретация математического ожидания дискретной случайной величины – если на оси абсцисс расположить точки x 1, x 2,..., xn, в которых сосредоточены массы p 1, p 2,..., pn, причем , то М(Х) – абсцисса центра тяжести.
Математическое ожидание находят для однородных величин.
Например, нет смысла искать среднюю урожайность зерновых и бахчевых культур в фермерском хозяйстве. Причем, и для однородных величин нахождение математического ожидания бывает иногда лишено смысла. Например, средняя температура больных в больнице.