2015-05-30
483
Однородные координаты. Композиция преобразований.
Имеем некоторое пространство моделирования - 2D, 3D или nD. Разберем последовательно, как работать в таком пространстве с геометрическими объектами разной размерности - точками, кривыми, поверхностями и телами - “твердыми” и “мягкими”. Начнем с точки, которая задается своими координатами в пространстве:
P = (x1, x2,..., xn) или для 3-мерного пространства P= (x, y, z).
Очевидно, что с точкой можно делать следующие операции:
- при сохранении количества координатных переменных модифицировать значения одной или нескольких таких переменных; нас будут интересовать “ биективные преобразования”, и в частности - аффинные преобразования.
- изменить количество координатных переменных - т.е. перейти в пространство большей или меньшей размерности. Нас будет интересовать последнее - преобразования проецирования.
В однородном координатном представлении точки, добавляется еще координата:
P = [ x y z w ]T или для двумерного случая: P = [ x y w ]T.
При этом, если число a!= 0, то все множество точек P = [ a*x a*y a*z a*w ]T представляют при любом a одну и ту же точку в трехмерном пространстве. Заметим, что по крайней мере одна из координат должна быть ненулевой - [ 0 0 0 0 ] не имеет смысла
|
|
|
Геометрическая интерпретация однородных координат следующая. В 2D cлучае каждая однородная точка представляет линию в 3D пространстве (в 3D каждая точка представляется линией в 4-х-мерном пространстве, проходящей через начало координат системы (x y z w). Если w!= 0, то обычно принято представлять координаты в виде: [ x/w y/w z/w 1 ]T. При этом числа x/w, y/w, z/w называются декартовыми координатами однородной точки. Все такие точки формируют подпространство определяемое уравнением w =1. Наконец, значение w = 0 интерпретируется как представление точки, находящейся в бесконечности. Единая формула для всех рассмотренных аффинных преобразований:
P’ = M P,
где P, P’ - матрицы столбцы однородных координат преобразуемой и результирующей точек, M - матрица преобразования.
