Пределы

Введение в математический анализ

1.1. Определение и свойства предела последовательности.

Числовая последовательность.

Если каждому натуральному числу поставлено в соответствие число , то говорят, что задана последовательность:

Общий элемент последовательности является функцией от :

Таким образом, последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента.

Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Пример 1. или или

Для последовательностей можно определить следующие операции:

1) умножение последовательности на число : , т.е.

2) сложение (вычитание) последовательностей: ;

3) произведение последовательностей: ;

4) частное последовательностей: при .

Ограниченные и неограниченные последовательности.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для любого n верно неравенство: т.е. все члены последовательности принадлежат промежутку .

Последовательность называется ограниченной сверху, если для любого существует такое число , что: .

Последовательность называется ограниченной снизу, если для любого существует такое число , что: .

Пример 2. – ограничена снизу .

Число называется пределом последовательности , если для любого положительного существует такой номер , что для всех выполняется условие:

Это записывается: .

В этом случае говорят, что последовательность сходится к при .

Свойство: если отбросить какое-либо число членов последовательности, то получаются новые последовательности, при этом если сходится одна из них, то сходится и другая.

Пример 3. Доказать, что предел последовательности .

Пусть при верно , т.е. . Это верно при , таким образом, если за взять целую часть от , то утверждение, приведенное выше, выполняется.

Пример 4. Показать, что при последовательность имеет пределом число .

Итого: .

Очевидно, что существует такое число , что , т.е. .

Теорема 1. Последовательность не может иметь более одного предела.

Доказательство. Предположим, что последовательность имеет два предела и , не равные друг другу: ; ; .

Тогда по определению существует такое число , что

Запишем выражение:

А т.к. - любое число, то , т.е. .

Теорема 2. Если , то .

Доказательство. Из следует, что . В то же время:

, т.е. , т.е. .

Теорема 3. Если , то последовательность ограничена.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно, т.е. из ограниченности последовательности не следует ее сходимость.

Например, последовательность не имеет предела, хотя

Монотонные последовательности.

1) Если для всех , то последовательность возрастающая.

2) Если для всех , то последовательность неубывающая.

3) Если для всех , то последовательность убывающая.

4)Если для всех , то последовательность невозрастающая

Все эти последовательности называются монотонными. Возрастающие и убывающие последовательности называются строго монотонными.

Пример 5. – убывающая и ограниченная – возрастающая и неограниченная.

Пример 6. Доказать, что последовательность монотонная возрастающая.

Найдем член последовательности

Найдем знак разности:

т.к. , то знаменатель положительный при любом .

Таким образом, . Последовательность возрастающая, что и следовало доказать.

Пример 7. Выяснить, является возрастающей или убывающей последовательность: .

Найдем . Найдем разность

т.к. , то , т.е. . Последовательность монотонно убывает.

Следует отметить, что монотонные последовательности ограничены по крайней мере с одной стороны.

Теорема 4. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

Доказательство. Рассмотрим монотонную неубывающую последовательность

Эта последовательность ограничена сверху: , где – некоторое число.

Т.к. любое, ограниченное сверху, числовое множество имеет четкую верхнюю грань, то для любого существует такое число , что , где – некоторая верхняя грань множества.

Т.к. - неубывающая последовательность, то при , .

Отсюда , или , т.е. .

Для остальных монотонных последовательностей доказательство аналогично.

Число .

Рассмотрим последовательность

Если последовательность монотонная и ограниченная, то она имеет конечный предел.

По формуле бинома Ньютона:

или, что то же самое

Покажем, что последовательность – возрастающая. Действительно, запишем выражение и сравним его с выражением :

Каждое слагаемое в выражении больше соответствующего значения , и, кроме того, у добавляется еще одно положительное слагаемое. Таким образом, последовательность возрастающая.

Докажем теперь, что при любом n ее члены не превосходят трех: .

Итак, последовательность - монотонно возрастающая и ограниченная сверху, т.е. имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой :

Из неравенства следует, что . Отбрасывая в равенстве для все члены, начиная с четвертого, имеем:

переходя к пределу, получаем:

Таким образом, число е заключено между числами 2,5 и 3. Если взять большее количество членов ряда, то можно получить более точную оценку значения числа . Можно показать, что число иррациональное и его значение равно 2,71828…

Аналогично можно показать, что , расширив требования к х до любого действительного числа.

Предположим, что: , тогда

Найдем

Число является основанием натурального логарифма.

Выше представлен график функции

Связь натурального и десятичного логарифмов.

Пусть , тогда , следовательно .

где - модуль переход.

1.2 Определение и свойства предела функции.

Предел функции в точке.

y f(x)

A+e

A-e

0 a-D а a+D x

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки (т.е. в самой точке функция может быть и не определена).

Число называется пределом функции при , если для любого существует такое число , что для всех таких, что: верно неравенство .

То же определение может быть записано в другом виде:

если , то верно неравенство .

Запись предела функции в точке:

Предел функции при стремлении аргумента к бесконечности.

Число называется пределом функции при , если для любого числа существует такое число , что для всех , выполняется неравенство:

При этом предполагается, что функция определена в окрестности бесконечности.

Записывают:

Графически можно представить:

y y

A A

0 0

x x

y y

0 x 0 x

Аналогично можно определить пределы для любого и для любого .

Основные теоремы о пределах.

Теорема 1. , где .

Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции и имеют конечные пределы при .

Теорема 2.

Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если вблизи точки и , то .

Аналогично определяется знак предела при , , .

Теорема 6. Если вблизи точки и , то и .

Функция называется ограниченной вблизи точки , если существует такое число , что вблизи точки .

Теорема 7. Если функция имеет конечный предел при , то она ограничена вблизи точки .

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда или , т.е. где .

1.3. Замечательные пределы. Применение эквивалентных бесконечно малых величин к вычислению пределов.

Некоторые замечательные пределы.

, где , - многочлены.

Итого:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел:

Часто, если непосредственное нахождение предела какой–либо функции представляется сложным, то можно путем преобразования функции свести задачу к нахождению замечательных пределов.

Кроме трех, изложенных выше, пределов можно записать следующие полезные на практике соотношения:

Пример 8. Найти предел

Пример 9. Найти предел

Пример 10. Найти предел

Пример 11. Найти предел

Пример 12. Найти предел.

Пример 13. Найти предел .

Для нахождения этого предела разложим на множители числитель и знаменатель данной дроби:

Тогда

Пример 14. Найти предел

Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение:

Пример 15. Найти предел

Пример 16. Найти предел .

Разложим числитель и знаменатель на множители:

тогда

Пример 17. Найти предел

Бесконечно малые функции.

Функция называется бесконечно малой при , где может быть числом или одной из величин ¥, +¥ или -¥, если .

Бесконечно малой функция может быть только если указать, к какому значению стремится аргумент . При различных значениях функция может быть бесконечно малой или нет.

Пример 18. Функция является бесконечно малой при и не является бесконечно малой при , т.к. .

Теорема 8. Для того, чтобы функция при имела предел, равный , необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки выполнялось условие: , где – бесконечно малая при ( при ).