Если функция дифференцируема по
, а функция
дифференцируема по
, то производная сложной функции
по независимой переменной
определяется равенством:
.
Доказательство: Пусть дана дифференцируемая функция , которая является сложной и имеет промежуточный аргумент
зависящий от
.
По определению производной можем записать . Умножив числитель и знаменатель функции, содержащейся под знаком предела, на приращения промежуточного аргумента
, получим:
то есть
производная сложной функции по аргументу
равна производной этой функции по промежуточному аргументу
, умноженной на производную внутренней функции
по основному аргументу
.
Это правило иногда называют правилом цепочки: то есть производная сложной функции равна произведению производных от всех составляющих ее функций. При этом следует помнить, что каждую функцию нужно дифференцировать по ее собственному аргументу.
Пример: Найти производную функции: .
Решение: Эта функция сложная, то есть .
Согласно правилу дифференцирования сложной функции получим: .
|
|