П.6 Линейные функции

Линейная функция есть функция вида

y = ax + b,

где a и b — константы. Примерами линейных функций являются

y = 2 x + 3

y = x — 99.

Строго говоря, функция вида y = ax + b должна называться афинной функцией и только функции вида y = ax должны называться линейными функциями. Однако мы не будем настаивать на этом разграничении.

Линейные функции могут быть также выражены неявно, в виде, подобном ax + by = c.

В таком случае мы часто выражаем y как функцию x, чтобы привести это к "стандартному" виду:

y = — x.

П.7 Изменения и отношения изменений

Обозначение D x читается как "изменение x ". Оно не означает D, умноженная на x. Если x изменяется от x * до x **, то изменение x есть просто

D x = x ** — x *.

Мы также можем записать

x ** = x * + x,

указывая на то, что x ** есть x * плюс изменение x.

Как правило, D x относится к малому изменению x. Иногда мы выражаем эту мысль, говоря, что D x представляет предельное изменение.

Скорость изменения есть отношение двух изменений. Если y есть функция x, заданная в виде y = f (x), то скорость изменения y относительно x обозначается как

=.

Скорость изменения показывает то, как изменяется y с изменением x.

Линейная функция обладает тем свойством, что скорость изменения y относительно x является постоянной. Чтобы доказать это, обратите внимание, что если y = a + bx, то

=== b.

Для нелинейных функций скорость изменения функции будет зависеть от значения x. Рассмотрим, например, функцию y = x ². Для этой функции

=== 2 x + D x.

Здесь скорость изменения от x до x + D x зависит от значения x и от величины изменения D x. Но если рассматривать очень малые изменения x, то D x будет почти равна нулю, так что скорость изменения y относительно x составит примерно 2 x.