Функции

Определение. Бинарное отношение f называется функцией, если из <x, y>Оf и <x, z>Оf следует, что y=z.

Поскольку функции являются бинарными отношениями, то две функции f и g равны, если они состоят из одних и тех же элементов. Область определения функции обозначается Df, а область значений – Rf. Определяются они так же, как и для бинарных отношений.

Если f – функция, то вместо <x, y>Оf пишут y=f(x) и говорят, что y – значение, соответствующее аргументу х, или y – образ элемента х при отображении f. При этом х называется прообразом элемента y.

Определение. Назовем f n-местной функцией из Х в Y еслиf:Xⁿ®Y. Тогда пишем y=f(x1, x2, …, xn) и говорим, что y – значение функции при значении аргументов x1, x2, …, xn.

Пусть f:X®Y.

Определение. Функция f называется инъективной, если для любых х1, х2, y из y=f(x1) и y=f(x2) следует, чтоx1=x2, то есть каждому значению функции соответствует единственное значение аргумента.

Определение. Функция f называется сюръективной, если для любого элемента yОY существует элемент хОХ такой, что y=f(x).

Определение. Функция f называется биективной, если f одновременно сюръективна и инъективна.

Рисунок 9 иллюстрирует понятия отношения, функции, инъекции, сюръекции и биекции.

Пример 9. Рассмотрим три функции, заданные на множестве действительных чисел и принимающих значение в этом же множестве:

1. функция f(x)=e^x - инъективна, но не сюръективна;

2. функция f(x)=x³-x – сюръективна, но не инъективна;

3. функция f(x)=2x+1 – биективна.

Определение. Суперпозиция функций – функция, полученная из системы функций f, f1, f2, …, fk некоторой подстановкой функций f1, f2, …, fk во внешнюю функцию f вместо переменных и переименованиями переменных.

Пример 10.

Класс элементарных функций есть множество всех суперпозиций так называемых основных элементарных функций (одноместных: степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических) и двуместных функций, представляющих арифметические операции.