Интегральный метод применяется для измерения влияния факторов в мультипликативных, кратных и смешанных кратно-аддитивных моделях. Метод называется так потому, что для получения его формул использовалось интегральное исчисление. Самое важное, что следует знать об интегральном методе – это то, что он позволяет получать более точные результаты расчета влияния факторов по сравнению с методом цепных подстановок, индексным методом, методами абсолютных и относительных разниц, а также по сравнению с другими методами, которые мы называли в начале этой главы (кроме логарифмического метода). Причина в том, что в этих методах общее приращение результативного показателя представляется как сумма его приращений под влиянием изолированных друг от друга факторов. Например, если результирующий показатель F зависит от трех факторов: х, у и z, – то его приращение представляется как сумма трех приращений:
D F = D Fx + D Fy + D Fz.
На самом же деле факторы действуют не изолированно, они взаимодействуют друг с другом и влияют на результирующий показатель совместно, из-за чего происходит дополнительный прирост результирующего показателя, который можно обозначить, как D Fx, y, z, так что на самом деле приращение F представляет собой сумму четырех приращений:
|
|
D F = D Fx + D Fy + D Fz + D Fx, y, z.
По справедливости, приращение из-за взаимодействия факторов (D Fx, y, z) должно быть распределено между оценками влияния всех факторов (в данном примере между D Fx,D Fy иD Fz). Но особенность формул МЦП, МАР, МОР и индексного метода в том, что это приращение не распределяется, а присоединяется к приросту результативного показателя под влиянием того фактора, который находится в модели на последнем месте (в данном примере – к величине D Fz). Соответственно, влияние последнего фактора завышается, а остальных – занижается. Таким образом, индексный метод, методы цепных подстановок, абсолютных и относительных разниц несут в себе погрешность, они дают неточные результаты. Кстати, из-за того, что величина D Fx, y, z в этих методах не распределяется между оценками факторов, она была названа неразложимым остатком.
В интегральном методе эта неточность устраняется за счет того, что дополнительный прирост результативного показателя от взаимодействия факторов (неразложимый остаток) делится поровну между оценками влияния всех факторов (раскладывается). Из-за этого интегральный метод дает точные и единообразные результаты, которые не зависят от местоположения факторов в модели. Соответственно, при использовании интегрального метода для мультипликативных моделей не требуется предварительная классификация и расстановка факторов в определенном порядке.
|
|
Приведем формулы интегрального метода для мультипликативных моделей. Для двухфакторных моделей
формулы оценок влияния факторов выглядят следующим образом:
или ;
или .
На примере этих формул становится понятно, почему интегральный метод дает единообразные результаты, которые не зависят от места факторов в модели. Формулы расчета оценок обоих факторов абсолютно идентичны. Если записать модель в виде:
,
и, соответственно, заменить в формулах расчета оценок факторов х на у, а у – на х, то получим такие же две формулы, как исходные (и такие же результаты расчета по ним).
Для трехфакторных моделей
формулы имеют вид:
;
;
.
Обратим внимание читателей на последние слагаемые приведенных формул
в формулах для двухфакторной модели и
в формулах для трехфакторной модели. Эти слагаемые представляют собой неразложимый остаток, который разделен поровну, по числу факторов в этих моделях (соответственно, на 2 и 3 части) и присоединен равными частями к оценкам влияния каждого из факторов.
Приведем формулы интегрального метода для четырехфакторных моделей вида
:
;
;
;
.
Как видим, в этих формулах неразложимый остаток разделен на четыре части и также поровну распределен между оценками влияния всех факторов.
Интегральный метод, в принципе, применим к мультипликативным моделям и с большим количеством факторов, но его формулы для таких моделей очень громоздки, и пользоваться ими для расчетов «вручную» слишком трудоемко.
Формулы интегрального метода для кратных моделей
имеют вид:
; .
Прямые скобки означают, что выражение под знаком логарифма нужно брать по модулю.
Приведем формулы интегрального метода для смешанных моделей вида
.
Эти формулы имеют вид:
;
; .
Для смешанных моделей вида
формулы интегрального метода – следующие:
;
;
; .
Как видим, использование интегрального метода не требует знания процесса интегрирования, его рабочие формулы требуют только знания арифметики и умения вычислять натуральные логарифмы (что несложно даже с помощью калькулятора). В конце решения прямой задачи факторного анализа интегральным методом, как и в остальных методах, требуется проверка в виде сложения оценок влияния всех факторов и сравнения этой суммы с общим приращением результирующего показателя.
Рассмотрим применение интегрального метода на данных примера 1 из пункта 5.3 (табл. 5.8).
Таблица 5.8