Решение: Всего случайных точек

Случайная точка (1, 1) имеет кратность 1 ´ 2 = 2;

– // – (1, 2) – // – 1 ´ 3 = 3;

– // – (1, 3) – // – 1 ´ 1 = 1;

– // – (2, 1) – // – 2 ´ 2 = 4;

– // – (2, 2) – // – 2 ´ 3 = 6;

– // – (2, 3) – // – 2 ´ 1 = 2;

– // – (3, 1) – // – 3 ´ 2 = 6;

– // – (3, 2) – // – 3 ´ 3 = 9;

– // – (3, 3) – // – 3 ´ 1 = 3.

Всего случайных точек 6 ´ 6 = 36 (n -кратную точку принимаем за n точек). Так как отношение кратности точки ко всему количеству точек равно вероятности появления этой точки, то таблица закона распределения системы случайных величин имеет вид

	Y
X
	1/18	1/12	1/36
	1/9	1/6	1/18
	1/6	1/4	1/12

Сумма всех вероятностей, указанных в таблице, равна единице.

Найдём математические ожидания случайных величин X и Y

Точка (7/3; 11/6) является центром рассеивания для заданной системы (X, Y).

Так как случайные величины X и Y независимы, то математические ожидания m_x и m_y можно подсчитать проще, используя ряды распределения:

хi					yi
pi	1/6	1/3	1/2		pi	1/3	1/2	1/6

Отсюда находим

От системы величин (X, Y) перейдём к системе центрированных величин где Составим таблицу

		–5/6	1/6	7/6
–4/3	1/18	1/12	1/36
–1/3	1/9	1/6	1/18
2/3	1/6	1/4	1/12

Имеем

Отсюда

Заметим, что и можно найти по формулам

Для нахождения коэффициента корреляции воспользуемся таблицей распределения системы центрированных случайных величин.

Определим ковариацию:

Так как C_xy = 0, то и коэффициент корреляции r_xy = 0.

Этот же результат мы могли получить и не определяя ковариации C_xy. Действительно, полагая Y = 1, получаем, что значение Х = 1 повторяется 2 раза, значение Х = 2 – 4 раза, а значение Х = 3 – 6 раз. Значит при Y = 1 получаем ряд распределения случайной величины Х:

хi
pi	1/6	1/3	1/2

Если Y = 2, то значение Х = 1 повторяется 3 раза, значение Х = 2 – 6 раз, а значение Х = 3 – 9 раз. Следовательно, при Y = 2 получается ряд распределения случайной величины Х:

хi
pi	1/6	1/3	1/2

Наконец, если Y = 3, то значение Х = 1 повторяется 1 раз, значение Х = 2 – 2 раза, а значение Х = 3 – 3 раза. Ряд распределения случайной величины Х при Y = 3 имеет вид

хi
pi	1/6	1/3	1/2

Итак, при различных значениях Y получаем один и тот же ряд распределения случайной величины Х. Так как ряд распределения случайной величины Х не зависит от значений случайной величины Y, то случайные величины Х и Y независимы. Отсюда следует, что коэффициент корреляции равен нулю.

ЗАДАЧА. Система случайных величин (X, Y) подчинена закону распределения с плотностью

Область D – квадрат, ограниченный прямыми х = 0, х = 3, у = 0, у = 3. Требуется: 1) определить коэффициент а; 2) вычислить вероятность попадания случайной точки (X; Y) в квадрат Q, ограниченный прямыми х = 1, х = 2, у = 1, у = 2; 3) найти математические ожидания m_x и m_y; 4) найти средние квадратичные отклонения s _x и s _y.

РЕШЕНИЕ. 1) Коэффициент а находим из уравнения

откуда

т.е.

2)

3) Находим математические ожидания m_x и m_y; имеем

Следовательно, и

4) Находим средние квадратичные отклонения s _x и s _y:

Итак,

ЗАДАЧА. Дана таблица

I
X	0,25	0,37	0,44	0,55	0,60	0,62	0,68	0,70	0,73
Y	2,57	2,31	2,12	1,92	1,75	1,71	1,60	1,51	1,50

i
X	0,75	0,82	0,84	0,87	0,88	0,90	0,95	1,00
Y	1,41	1,33	1,31	1,25	1,20	1,19	1,15	1,00

Определить коэффициент корреляции r_xy и уравнения линий регресии.

РЕШЕНИЕ. Составим расчётную таблицу:

i	Х	Y	X2	Y2	XY
	0,25	2,57	0,0625	6,6049	0,6425
	0,37	2,31	0,1369	5,3361	0,8547
	0,44	2,12	0,1936	4,4944	0,9328
	0,55	1,92	0,3025	3,6864	1,0560
	0,60	1,75	0,3600	3,0625	1,0500
	0,62	1,71	0,3844	2,9241	1,0602
	0,68	1,60	0,4624	2,5600	1,0880
	0,70	1,51	0,4900	2,2801	1,0570
	0,73	1,50	0,5329	2,2500	1,0950
	0,75	1,41	0,5625	1,9881	1,0575
	0,82	1,33	0,6724	1,7689	1,0906
	0,84	1,31	0,7056	1,7161	1,1004
	0,87	1,25	0,7569	1,5625	1,0875
	0,88	1,20	0,7744	1,4400	1,0560
	0,90	1,19	0,8100	1,4161	1,0710
	0,95	1,15	0,9025	1,3225	1,0925
	1,00	1,00	1,0000	1,0000	1,0000
S	11,95	26,83	9,1095	45,4127	17,3917

Из таблицы получаем:

Теперь находим

Вычисляем значение произведения так как то связь достаточно обоснована.

Уравнения линий регрессии:

т.е.

т.е.

Построив точки, определяемые таблицей, и линии регрессии, видим, что обе линии регрессии проходят через точку М (0,7029; 1,5782). Первая линия отсекает на оси ординат отрезок 3,0329, а вторая – на оси абсцисс отрезок 1,4566. Точки (x_i, y_i) расположены близко к линиям регрессии.

ЗАДАЧА. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения x₁ = 2, x₂ = 5, x₃ = 7, x₄ = 1, x₅ = 10, x₆ = 5, x₇ = 9, x₈ = 6, x₉ = 8, x₁₀ = 6, x₁₁ = 2, x₁₂ = 3, x₁₃ = 7, x₁₄ = 6, x₁₅ = 8, x₁₆ = 3, x₁₇ = 8, x₁₈ = 10, x₁₉ = 6, x₂₀ = 7, x₂₁ = 3, x₂₂ = 9, x₂₃ = 4, x₂₄ = 5, x₂₅ = 6.

Требуется: 1) составить таблицу, устанавливающую зависимость между значениями случайной величины и её частотами; 2) построить статистическое распределение; 3) изобразить полигон распределения.

РЕШЕНИЕ. 1) Найдём объём выборки: n = 25. Составим таблицу

Х
nx

2) Статистическое распределение имеет вид

Х
W	1/25	2/25	3/25	1/25	3/25	5/25	3/25	3/25	2/25	2/25

Контроль:

Последнюю таблицу можно переписать в виде

Х
W	0,04	0,08	0,12	0,04	0,12	0,2	0,12	0,12	0,08	0,08

3) Возьмём на плоскости xOw точки (1; 0,04), (2; 0,08), (3; 0,12) и т.д. Последовательно соединив эти точки прямолинейными отрезками, получим полигон распределения случайной величины Х.

ЗАДАЧА. В результате испытания случайная величина Х приняла следующие значения x₁ = 16, x₂ = 17, x₃ = 9, x₄ = 13, x₅ = 21, x₆ = 11, x₇ = 7, x₈ = 7, x₉ = 19, x₁₀ = 5, x₁₁ = 17, x₁₂ = 5, x₁₃ = 20, x₁₄ = 18, x₁₅ = 11, x₁₆ = 4, x₁₇ = 6, x₁₈ = 22, x₁₉ = 21, x₂₀ = 15, x₂₁ = 15, x₂₂ = 23, x₂₃ = 19, x₂₄ = 25, x₂₅ = 1.

Требуется: составить таблицу статистического распределения, разбив промежуток ]0, 25[ на пять участков, имеющих одинаковые длины; построить гистограмму одинаковых частот.

РЕШЕНИЕ. Предварительно составим таблицу

Х	]0, 5[	]5, 10[	]10, 15[	]15, 20[	]20, 25[
nx

Статистическое распределение имеет вид

Х	]0, 5[	]5, 10[	]10, 15[	]15, 20[	]20, 25[
W	0,12	0,2	0,16	0,32	0,2

Гистограмма относительных частот изображена на рисунке

0 5 10 15 20 25