Условным законом распределения одной случайной величины,входящей в систему, называется закон, найденный при условии, что другая случайная величина, входящая в эту же систему, приняла определенное значение. Условный закон распределения задается как функцией распределения, так и плотностью распределения. Если рассматривается распределение случайной величины ξi при условии, что другая случайная величина ξj приняла определенное значение, то условная функция распределения обозначается
F(x/y), а плотность – f(x/ y).
Важными характеристиками являются условные математические ожидания и условные дисперсии. Пусть случайная величина ξi принимаетзначения
a = (), а случайная величина ξj - b = ().
Условным математическим ожиданием дискретнойслучайной величины ξi при ξj = bназывают сумму произведений возможных значений ξ i на их условные вероятности. Тогда условное математическое ожидание вычисляется по формуле:
M(ξi / ξj=b) = . (27)
Для непрерывных случайных величин
M(ξi / ξj=b) = . (28)
|
|
Особая роль в изучении системы случайных величин принадлежит корреляционному моменту (ковариации). Ковариацией случайных величин ξ i и ξj называется число
= cov(ξiξj) = M((ξ i-M(ξ i))(ξ j-M(ξj)))=M(ξiξj)-M(ξi)M(ξj), i,j=1,2,…n.
Для независимых случайных величин ковариация равна нулю т.к. в этом случае M(ξiξj) = M(ξi)M(ξj).
Очевидно, что = = D(), cov(ξiξ j) = cov(ξ ξ )
Все парные ковариации составляют симметричную относительно главной диагонали ковариационную матрицу размерностью (n n).
=
Определитель ковариационной матрицы является обобщенной дисперсией системы случайных величин..
Рассмотрим систему только двух случайных величин, пусть ξ1, ξ2. Пусть случайная величина ξ1 принимает значения из множества X, ξ2 – из множества Y, (X,Y) -действительные числа. Мерой линейной зависимости двух случайных величин ξ1, ξ2 является коэффициент корреляции
,
Свойства коэффициента корреляции:
1. |ρ| .
2. |ρ|=1 тогда и только тогда, когда между случайными величинами существует
линейная функциональная взаимосвязь
y = аx + b, (29)
где ,
причем, если ρ= 1, то a > 0, если ρ= -1, то a < 0 (Рис. 15)
Рис. 15.
Для независимых случайных величин ρ = 0, но обратное утверждение неверно, т.к. между случайными величинами может быть другой тип взаимосвязи (нелинейной).Чем ближе значение ρ к нулю, тем слабее линейная взаимосвязь, чем ближе по модулю к единице, тем -сильнее. Если ρ = 0, то говорят, что случайные величины некоррелированы. Можно показать, что если нормально распределенные случайные величины некоррелированы, то они и независимы.
|
|
Пусть –1<ρ<1 и ρ≠0. Если нанести точки (X,Y) на координатную плоскость XoY, то можно заметить, что эти точки группируются вокруг некоторой прямой y = ax + b. Вычислим коэффициенты a,b этой прямой из условия, что дисперсия отклонений точек (X,Y) от точек на прямой была минимальна.
.
.
.
.
.
Рис. 16.
Уравнение, относительно которого дисперсия минимальна, называется уравнением регрессии. Рассматривая дисперсию как функцию от двух переменных a и b воспользуемся необходимым условием экстремума
Решая эту систему относительно a и b, получим
, , уравнение регрессии - у = (Рис.16),
при этом дисперсия , и она является минимальной.
Таким образом, уравнение регрессии у = , дает наилучшее линейное представление ξ2 по ξ1.
Количественной характеристикой нелинейной взаимосвязи случайных величин ξ1, ξ2 является корреляционное отношение. Коэффициент корреляционного отношения ξ2 по ξ1 вычисляется по формуле:
, (30)
где - условная дисперсия, характеризующая рассеяние ξ2 около условного математического ожидания .
Свойства корреляционного отношения:
1. .
2. η=0 соответствует некоррелированным случайным величинам.
3. η=1,тогда и только тогда, когда имеет место функциональная зависимость между ξ1 и ξ2. В случае линейной зависимости ξ2 от ξ1 корреляционное отношение совпадает с квадратом коэффициента корреляции.
Корреляционное отношение несимметрично относительно ξ1 и ξ2, поэтому наряду с рассматривается , определяемое аналогичным образом. Между и нет какой-либо простой зависимости.
Теперь рассмотрим совокупность n-случайных величин .Можно вычислить коэффициенты корреляции ρij между каждой парой случайных величин. Они составят корреляционную матрицу
ρij=ρji, i≠j т.е. матрица симметрична относительно главной диагонали.
Взаимосвязь какой-либо случайной величины ξi со всеми остальными случайными величинами характеризуется множественным коэффициентом корреляции
(31)
|R| - определитель матрицы R,
Rjj – алгебраическое дополнение, соответствующее элементу корреляционной матрицы ρjj,
.