Мультиномиальное распределение – схема бросания частиц по ячейкам

Пусть

- некоторые параметры (параметры распределения)

Воспользовавшись определением распределения и полиномиальной формулой, нетрудно проверить, что сумма вероятностей всех элементарных событий равнаединице

Распределение на конечном пространстве, состоящем из целочисленных векторов называется мультиномиальное (полиномиальное) распределение, если

Указанное распределение возникает в следующей вероятностной схеме, называемой мультиномиальная (полиномиальная) схема или схема бросания частиц по ячейкам.

Рассмотрим последовательность из n независимых (с точки зрения здравого или физического смысла) опытов (бросание n частиц в N ячеек), в каждом из которых может произойти одно и только одно из событий A₁,…,A_N (A_i - попадание частицы в ячейку с номером i). Пусть нам известна вероятность p_i, того что событие А_i произойдет в одном опыте (вероятность того, что частица попадет в i-тую ячейку) Поставим задачу найти распределение количества частиц в ячейках после n бросаний - мультиномиальное распределение.

Эта схема обобщает схему выбора с возвращением и схему Бернулли.

Элементарный исход, описывающий эксперимент целиком, естествено определить как n-мерный вектор, каждая координата которого может принимать одно из N значений 1,2,…,N.

Так же как и в схеме Бернулли определим вероятность элементарного исхода так, чтобы исходы отдельных опытов были независимы в совокупности. Дальнейшие рассуждения аналогичны рассуждениям, примененным при выводе формул в примере для схемы выбора с возвращением.