Говорят, что случайная величина имеет биномиальное распределение с параметрами и , где , и пишут , если принимает значения 0, 1, …, с вероятностями . Случайная величина с таким распределением имеет смысл числа успехов в испытаниях схемы Бернулли с вероятностью успеха . Таблица распределения имеет вид
… | … | |||||
… | … |
Таким образом, биномиальным называют распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли
. (1)
Закон назван биномиальным потому, что правую часть формулы Бернулли можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:
или, с учетом того, что , , ,
Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события раз в независимых испытаниях; второй член определяет вероятность наступления события раз; последний член определяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Например: Монета брошена 2 раза. Найти закон распределения случайной величины - числа выпадений «герба».
|
|
§ При каждом бросании монеты . При двух бросаниях монеты «герб» может появиться 2, 1 раз или вообще не появиться. Таким образом, . Соответствующие вероятности рассчитаем по формуле Бернулли:
; ; .
Искомый закон распределения
0,25 | 0,5 | 0,25 |
Контроль: 0,25+0,5+0,25=1. §