Пусть НСВ задана плотностью распределения
. И пусть все возможные значения
принадлежат отрезку
. Разобьем этот отрезок на
частичных отрезков длиной
и выберем в каждом из них произвольную точку
. Составим сумму произведений возможных значений
на вероятности попадания их в интервал
(напомним, что произведение
приближенно равно вероятности попадания
в интервал
):
.
Переходя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл
.
Опр. Математическим ожиданием НСВ , возможные значения которой принадлежат отрезку
, называют определенный интеграл
. (4)
Если возможные значения принадлежат всей числовой оси
, то
. (5)
Предполагается, что несобственный интеграл сходится абсолютно.
По аналогии с дисперсией дискретной СВ определяется и дисперсия НСВ.
Опр. Дисперсией НСВ , возможные значения которой принадлежат отрезку
, называют математическое ожидание квадрата ее отклонения.
. · (6)
Если возможные значения принадлежат всей числовой оси
, то
|
|
. (7)
Среднее квадратическое отклонение НСВ определяется, как и для величины дискретной, равенством .
Замечания:
1. Свойства математического ожидания и дисперсии ДСВ сохраняются и для НСВ.
2. Более удобные формулы для вычисления дисперсии:
и
. (8)