Теорема умножения вероятностей. Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р(А) и РА(В) известны

Рассмотрим два события: А и В; пусть вероятности Р(А) и Р_А(В) известны. Как найти вероятность совмещения этих событий, т.е. вероятность того, что появится и событие А и событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема умножения.

Теорема. Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Р_А(В)=Р(А)*Р_А(В).

Доказательство. По определению условной вероятности,

Р_А(В) = Р(АВ)/Р(А).

Отсюда

Р(АВ) = Р(А) * Р_А(В)

Что и требовалось доказать.

Замечание. Применив формулу (*) к событию ВА, получим

Р(ВА) = Р(В) * Р_В(А),

Поскольку событие ВА не отличается от события АВ, имеем

Р(АВ) = Р(В) * Р_В(А). (**)

Сравнивая формулы (*) и (**), заключаем о справедливости равенства

Р(А) * Р_А(В) = Р(В) * Р_В(А). (***)

Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех остальных, причем вероятность каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие события уже появились:

P(A₁A₂A₃...A_n) = P(A₁) * P_Al(A₂) * P_AlA2(A₃) *...* Р_{А1А2…Аn-1} (А_n),

где Р_{А1А2…Аn-1} (А_n) – вероятность события А_n, вычисленная в предположении, что события A₁, A₂, A₃,...,A_n наступили. В частности, для трех событий

Р (АВС) = Р(А) * Р_А(В) * Р_АВ(С).

Заметим, что порядок, в котором расположены события, может быть выбран любым, т.е. безразлично какое событие считать первым, вторым и т. д.

Пример 2. У сборщика имеется 3 конусных и 7 эллиптических валиков. Сборщик взял один валик, а затем второй. Найти вероятность того, что первый из взятых валиков – конусный, а второй – эллиптический.

Решение. Вероятность того, что первый валик окажется конусным (событие А),

Р (А) = 3/10.

Вероятность того, что второй валик окажется эллиптическим (событие В), вычисленная в предположении, что первый валик – конусный, т.е. условная вероятность

Р_А (В) = 7/9.

По теореме умножения, искомая вероятность

Р (АВ) = Р (А) * Р_А(В) = (3/10) * (7/9) = 7/30.

Заметим, что, сохранив обозначения, легко найдем:

Р(В)=7/10, Р_B(A)=3/9, Р(В) * Р_В(А) =7/30,

что наглядно иллюстрирует справедливость равенства (***).

Пример 3. В урне 5 белых, 4 черных и 3 синих шара. Каждое испытание состоит в том, что наудачу извлекают один шар, не возвращая его обратно. Найти вероятность того, что при первом испытании появится белый шар (событие А), при втором – черный (событие В) и при третьем – синий (событие С).

Решение. Вероятность появления белого шара в первом испытании

Р (А) = 5/12.

Вероятность появления черного шара во втором испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, т. е. условная вероятность

Р_А (В) = 4/11.

Вероятность появления синего шара в третьем испытании, вычисленная в предположении, что в первом испытании появился белый шар, а во втором – черный, т.е. условная вероятность

Р_AB(С) =3/10.

Искомая вероятность

Р (ABC) =Р (А) * Р_А (В) * Р_АВ (С) = (5/12)*(4/11)*(3/10) = 1/22.