Основные понятия и определения теории выборок

Одной из основных задач прикладной статистики является разработка методов изучения массовых явлений или процессов на основе сравнительно небольшого количества наблюдений или опытов. Эти методы изучаются в теории выборок. Дадим основные понятия и определения этой теории.

Группа предметов, объединенных каким-либо общим признаком или свойством качественного или количественного характера, носит название статистической совокупности. К ней, например, можно отнести партию деталей. Признак, по которому детали объединяются в совокупность, может быть количественным (размер) или качественным ("соответствующие", "несоответствующие"). Следовательно, одни и те же предметы могут образовывать несколько совокупностей в зависимости от того, по какому признаку они объединяются в совокупность.

Предметы, образующие совокупность, называются ее членами. Общее число членов совокупности составляет ее объем. Если совокупность содержит конечное число членов, полученных в результате испытаний, то она называется эмпирической.

В прикладной статистике для исследования большой эмпирической совокупности прибегают к выборкам из нее.

Выборкой называется часть членов совокупности, отобранных из нее для получения сведений о всей совокупности. В этом случае совокупность, из которой извлекается выборка, называется генеральной совокупностью. Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем нас признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы члены выборки правильно его представляли, иначе говоря выборка должна быть репрезентативной (представительной).

Репрезентативной (представительной) выборкой называется выборка, которая правильно отражает пропорции генеральной совокупности.

По способу образования выборки делятся на повторные и бесповторные. Повторная выборка образуется путем последовательного извлечения из генеральной совокупности нескольких членов с возвратом каждого из них после соответствующего обследования обратно в генеральную совокупность. При извлечении следующего объекта из совокупности не исключена возможность снова взять этот же объект.

Например, из партии в 1000 штук деталей последовательно, извлекается 10 деталей в следующем порядке: извлекается первая деталь и измеряется, затем она возвращается в совокупность, последняя перемешивается, затем извлекается следующая деталь и т.д. Извлеченные таким способом 10 деталей составляют повторную выборку объемом в 10 штук.

Бесповторная выборка образуется путем извлечения некоторого числа членов генеральной совокупности для необходимого обследования без возврата этих членов в совокупность.

Например, если из партии в 1000 штук деталей сразу или последовательно будет извлечено 10 деталей без возвращения их обратно, то будет образована бесповторная выборка объемом 10 штук.

Выборки, кроме указанных, делятся также на преднамеренные и случайные, мгновенные и общие, малые и большие.

Выборка считается преднамеренной, если отбор объектов для нее из генеральной совокупности производится с определенной тенденцией, приводящей к повышению или понижению вероятности выявления изучаемого признака качества.

Выборка считается случайной, если все объекты генеральной совокупности имеют равную возможность попасть в выборку.

Мгновенной (или текущей) выборкой называется выборка малого объема, взятая из числа единиц потока продукции, изготовленных к моменту отбора в короткий промежуток времени, в котором проявление систематических погрешностей пренебрежимо мало.

Общей называется выборка, состоящая из серии мгновенных выборок.

Малой выборкой считается выборка, объем которой меньше 25 членов. Если объем выборки больше 25 членов, то она считается большой. В производственных исследованиях, обычно большая выборка состоит из 50-100 и более членов, а малая выборка из 5-10 членов.

Выборочный метод позволяет решить две основные задачи, имеющие большое практическое значение.

Первая задача заключается в установлении закона распределения изучаемой случайной величины и параметров этого распределения по данным выборки, вторая — в статистической проверке гипотез, выдвигаемых при различных производственных исследованиях.

Остановимся подробнее на первой задаче. На основании закона больших чисел можно утверждать, что если совокупность подчиняется определенному закону распределения, то и выборка из этой совокупности, если объем ее достаточно велик, будет подчиняться этому же закону. Утверждение будет тем точнее, чем больше объем выборки.

Всякую эмпирическую совокупность можно рассматривать как выборку большого объема из генеральной совокупности, подчиняющейся определенному теоретическому закону распределения. Следовательно, по характеру эмпирического распределения можно установить с определенной точностью близкое ему теоретическое распределение.

В ряде случаев тип закона можно установить заранее на основании предыдущих знаний. В этом случае задача сводится к нахождению неизвестных значений его параметров. В случае нормального распределения задача сводится к установлению среднего арифметического значения генеральной совокупности изучаемой величины и ее стандартного отклонения s₀.

Оценка параметров распределения генеральной совокупности может быть практически осуществлена только на основании данных выборки из этой совокупности.

Беря выборку из генеральной совокупности и вычисляя ее статистические характеристики и s, можно с некоторым приближением считать, что они по своим величинам будут близки к соответствующим параметрам генеральной совокупности и s₀, т.е. является их оценками.