Нормированного нормального распределения

t	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0	,39849 ,39695 ,39104 ,38139 ,36827 ,35207 ,33322 ,31225 ,28969 ,26609 ,24197 ,21785 ,19419 ,17137 ,14937 ,12952 ,11092 ,09405 ,07895 ,06562 ,05399 ,04398 ,03547 ,02833 ,02239 ,01753 ,01358 ,01042 ,00792 ,00595 ,00443	,39892 ,39654 ,39024 ,38023 ,36678 ,35029 ,33121 ,31006 ,28737 ,26369 ,23955 ,21546 ,19186 ,16915 ,14764 ,12758 ,10915 ,09246 ,07754 ,06438 ,05292 ,04307 ,03470 ,02768 ,02186 ,01709 ,01323 ,01014 ,00770 ,00578 ,00327	,39886 ,39608 ,38940 ,37903 ,36526 ,34849 ,32918 ,30785 ,28504 ,26129 ,23713 ,21307 ,18954 ,16694 ,14556 ,12556 ,10741 ,09089 ,07614 ,06316 ,05186 ,04217 ,03394 ,02705 ,02134 ,01667 ,01289 ,00987 ,00748 ,00562 ,00238	,39876 ,39559 ,38853 ,37780 ,36371 ,34667 ,32713 ,30563 ,28269 ,25888 ,23471 ,21069 ,18724 ,16474 ,14350 ,12376 ,10567 ,08933 ,07477 ,06195 ,05082 ,04128 ,03319 ,02643 ,02083 ,01625 ,01256 ,00961 ,00727 ,00545 ,00172	,39862 ,39505 ,38762 ,37654 ,36213 ,34482 ,32506 ,30339 ,28034 ,25647 ,23230 ,20831 ,18494 ,16256 ,14146 ,12188 ,10396 ,08780 ,07341 ,06077 ,04980 ,04041 ,03246 ,02582 ,02033 ,01585 ,01223 ,00935 ,00707 ,00530 ,00123	,39844 ,39448 ,38667 ,37542 ,36053 ,34294 ,32297 ,30114 ,27798 ,25406 ,22988 ,20594 ,18265 ,16038 ,13943 ,12051 ,10226 ,08628 ,07206 ,05959 ,04879 ,03955 ,03174 ,02522 ,01984 ,01545 ,01191 ,00909 ,00687 ,00514 ,00087	,39822 ,39387 ,38568 ,37391 ,35889 ,34105 ,32086 ,29887 ,27562 ,25164 ,22747 ,20357 ,18037 ,15822 ,13742 ,11816 ,10059 ,08478 ,07074 ,05844 ,04780 ,03871 ,03103 ,02463 ,01936 ,01506 ,01160 ,00885 ,00668 ,00499 ,00061	,39797 ,39322 ,38466 ,37255 ,35723 ,33912 ,31874 ,29659 ,27324 ,24923 ,22506 ,20121 ,17810 ,15608 ,13542 ,11632 ,09893 ,08329 ,06943 ,05730 ,04682 ,03788 ,03034 ,02406 ,01889 ,01468 ,01130 ,00861 ,00649 ,00485 ,00042	,39767 ,39253 ,38361 ,37115 ,35553 ,33718 ,31659 ,29431 ,27086 ,24681 ,22265 ,19886 ,17585 ,15395 ,13344 ,11450 ,09728 ,08183 ,06814 ,05618 ,04586 ,03706 ,02965 ,02349 ,01842 ,01431 ,01100 ,00837 ,00631 ,00471 ,00029	,39733 ,39181 ,38251 ,36973 ,35381 ,33521 ,31443 ,29200 ,26848 ,24439 ,22025 ,19652 ,17360 ,15183 ,13147 ,11270 ,09566 ,08038 ,06687 ,05508 ,04491 ,03626 ,02898 ,02294 ,01797 ,01394 ,01071 ,00814 ,00613 ,00457 ,00020

Для равновероятного закона распределения теоретические частоты находят по формуле

При распределении случайной величины по закону эксцентриситета вычисляют среднее значение и стандартное отклонение величины r:

По значению определяют нормального закона распределения по осям координат:

После чего определяют вспомогательную переменную t_i:

и значение нормированной функции распределения Релея для каждого из значений t_i:

Значения функции F(t) = dt

t=	Сотые доли t
0,0	0,00000	0,00006	0,00021	0,00046	0,00081	0,00126	0,00181	0,00244	0,00319	0,00404
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
3,0
3,1
3,2
3,3
3,4
3,5
3,6
3,7
3,8
3,9
4,0

Вычитая из последующего значения F(t_i) предыдущее, находят вероятности интервалов P(t_i).

Теоретические частоты рассчитывают по формуле

Рассмотрим также проверку гипотезы равенства двух выборочных средних. Предположим что из одной и той же генеральной совокупности взяты две выборки, которые для величины Х дают средние и , отличные одна от другой.

Оценка расхождения двух выборочных средних производится при помощи критерия t Стьюдента, рассмотренного выше.

Практически критерий t в общем случае рассчитывается

При оценке полученного значения t необходимо рассчитать k.

k = n₁ + n₂ - 2.

Затем по таблице определить Р(t). Если Р(t) ≤ 0,05, то нулевая гипотеза о несущественном, случайном расхождении между выборочными средними значениями должна быть отклонена.

Если объем выборок n > 25, то критерий t вычисляется по формуле

Пример. При одних и тех же условиях было обработано 2 партии втулок по 28 штук развертками на d = 6 мм и d = 10 мм. Результаты измерений двух партий втулок показали, что средняя разность между диаметром отверстия и диаметром развертки (разбивка отверстий) составляет для d = 6 мм - = 10,4 мкм, для d = 10 мм - = 9,8 мкм. Дисперсии этих величин соответственно равны: = 3,8 мкм, = 4,7 мкм.

Необходимо установить, влияет ли диаметр развертки на величину разбивки отверстий, которое подчиняются нормальному закону распределения (как показали предварительные испытания). Наша нулевая гипотеза будет состоять в том, что размер развертки не влияет на величину разбивки.

Вычислим величину t:

По таблице этому значению t соответствует Р = 0,31. Так как Р=0,31>0,05, то нулевая гипотеза верна, т.е. можно считать, что размер развертки в пределах от d = 6 мм до d = 10 мм не оказывает существенного влияния на величину разбивки отверстий.

Проверка гипотезы равенства двух выборочных дисперсий производится по отношению

В числителе всегда ставиться наибольшее значение из двух наблюдаемых дисперсий. Затем определяются k₁ = n₁ - 1 и k₂ = n₂ - 1 по которым находится табличное значение Т_табл. Если Т_набл ≥ Т_табл, то гипотеза отвергается.

Пример. С двух автоматов, обрабатывающих одинаковые детали, взяты две выборки n₁ и n₂ по 10 штук. При этом оказалось, что = 40 мкм и = 32 мкм. Ранее было установлено, что рассеивание размеров деталей, обработанных на автоматах, следует нормальному закону распределения.

Можно ли предположить, что оба станка обеспечивают одинаковую точность обработки? Предположим, что оба станка дают одинаковую точность и наблюдаемое расхождение между дисперсиями случайно. Для проверки нашей нулевой гипотезы определим критерий Т_набл.

По таблице для уровня значимости Р = 0,05 при k₁ = k₂ = 9 находим Т_табл. = 3,23, следовательно Т_набл. < Т_табл. Поэтому можно считать нашу гипотезу верной, а наблюдаемой различие в значениях дисперсий выборок случайным.