Сформулируем теоремы о непрерывности функций, полученных в результате арифметических действий над непрерывными функциями, а также их композиции.
Доказательства этих теорем однотипны и основываются на определении непрерывности функции в точке.
Теорема. Если функции и непрерывны в точке , то и функции , непрерывны в точке . Если, кроме того, , то функция / является также непрерывной в точке .
Доказательство. Докажем, например, непрерывность функции в точке . Из непрерывности функций и в точке следует, что , . Тогда
.
т. е. функция непрерывна в точке . Аналогично доказываются другие утверждения теоремы.
⊠
Эту теорему можно обобщить на случай конечного числа функций: алгебраическая сумма и произведение конечного числа функций, непрерывных в точке х0, непрерывны в точке .
Сформулируем теорему о непрерывности сложной функции.
Теорема. Сложная функция, являющаяся композицией конечного числа непрерывных в точке функций, непрерывна в точке .
Доказательство. Докажем эту теорему для случая, когда сложная функция является композицией двух непрерывных в точке функций и .
Пусть , , тогда по определению сложной функции
.
Теорема утверждает, что если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .
Действительно, пусть . Тогда из непрерывности функции следует, что , т. е. что . Поскольку
непрерывна в точке , то Но так как , то последнее равенство можно записать в виде
или
.
⊠
Из определения 1 непрерывной функции в точке и последней теоремы следует, что
или в частном случае
т. е. символы предела и непрерывной функции перестановочны.
Приведем без доказательства следующие две теоремы.
Теорема. Пусть функция определена, непрерывна и монотонна на некотором множестве X и пусть Y — множество ее значений. Тогда на множестве Y обратная функция монотонна и непрерывна.
Теорема. Основные элементарные функции непрерывны во всех точках, принадлежащих их области определения.