Приведем несколько теорем, характеризующих свойства непрерывных на отрезке функций.
Теорема Вейерштрасса. Если функция непрерывна на отрезке
, то на этом отрезке она ограничена и достигает своих нижней и верхней граней, т. е. на нем существуют по крайней мере две точки
и
, такие, что
,
.
|
![](https://www.ok-t.ru/studopediaru/baza11/261822735843.files/image447.gif)
Например, функция непрерывна на отрезке [–2; 3]. Она ограничена на [–2; 3] (
b 9) и существуют такие две точки
= 0 и
= 3, принадлежащие отрезку [– 2; 3], что
,
.
Заметим, что непрерывная функция на открытом промежутке ]а; Ь[ может быть неограниченной и, следовательно, не иметь своих точных нижней и верхней граней. Такой функцией является, например, функция на интервале ]
;
[.
Теорема (о сохранении знака). Если функция непрерывна в точке
и
, то существует такая окрестность точки
, в которой знак функции совпадает со знаком
.
Доказательство этой теоремы основывается на использовании теоремы о плотности числовой прямой. Геометрическая интерпретация этой теоремы дана на рисунках.
Например, функция непрерывна в точке
, и
.Следовательно существует такая окрестность точки
, в которой функция
сохраняет знак, т. е.
.
Теорема Больцано — Коши. Если функция непрерывна на отрезке
и на его концах принимает значения разных знаков, то внутри этого отрезка существует по крайней мере одна точка, в которой значение функции равно нулю.
Геометрический смысл теоремы заключается в следующем: если точки и
графика функции
, соответствующие концам отрезка
, лежат по разные стороны от оси
, то график функции хотя бы в одной точке отрезка пересекает ось
.
Функция , график которой представлен на рисунке ниже, имеет три точки:
,
,
где
.
Замечание. Если непрерывна и монотонна на
,то существует не более одной точки
, такой, что
.
Теорема (о промежуточных значениях). Пусть непрерывна на отрезке
и
,
. Тогда для любого числа
, заключенного между
и
, найдется такая точка
, что
.
Эта теорема геометрически очевидна. Рассмотрим график функции . Пусть
и
.
Тогда прямая , где
— любое число, заключенное между
и
, пересечет график функции по крайней мере в одной точке. Если же
непрерывна и монотонна на
, то существует единственная точка
, такая, что
.
Теорему о промежуточных значениях можно переформулировать так: непрерывная функция, переходя от одного значения к другому, обязательно принимает все промежуточные значения.
В курсе математического анализа встречаются кусочно-непрерывные на отрезке функции.
Определение. Функция называется кусочно-непрерывной на отрезке
, если она непрерывна во всех внутренних точках
за исключением, быть может, конечного числа точек, в которых эта функция имеет разрыв первого рода или устранимый разрыв, и, кроме того, она имеет односторонние пределы в точках
и
.
Функция называется кусочно-непрерывной на числовой прямой, если она кусочно-непрерывна на любом отрезке этой прямой.