3.1. Определение тройного интеграла
Тройной интеграл является полным аналогом двойного интеграла. Пусть в некоторой трёхмерной области (V) задана непрерывная функция трёх переменных .
Разобьём область (V) произвольным образом на n элементарных областей (Vi)(i=1,2…n) без общих внутренних точек, объёмы которых обозначим через .
Выберем в каждой части произвольную точку и составим интегральную сумму
Обозначим через λ наибольший из диаметров элементарных областей(V1), (V2)…. (Vn): , где .
Если существует предел интегральной суммы при λ→0 (n→∞), не зависящий ни от способа разбиения области(V) наэлементарные области, ни от выбора точек в каждой элементарной области, то этот предел называют тройным интегралом от функции по области (V) и обозначают:
Функция в этом случае называется интегрируемой в области (V).
Замечание. Свойства тройных интегралов полностью аналогичны свойствам двойных интегралов.
3.2. Вычисление тройных интегралов
3.2.1. Вычисление тройного интеграла в прямоугольных координатах
Пусть – непрерывная в области (V) функция, (V) – часть пространства ограниченная сверху поверхностью , а снизу – поверхностью .
Пусть (D) – проекция области (V) на плоскость Oxy.
Границей области (D) «сверху» является график функции , «снизу» - график функции .
Проекцией области (D) на ось Ox является отрезок [ a;b ] (рис. 14)
Рис. 14
Тогда имеет место формула:
Пример
Вычислить ,
если (V) – область, ограниченная плоскостями x=0, y=0, z=0, x+y+z=1.
Решение Область (V) изображена на рисунке (15). Поэтому
Путем несложных вычислений можно придти к ответу .
Замечание. Если , то
где – объём области (V).
3.2.2. Тройной интеграл в цилиндрических координатах.
В цилиндрической системе координат положение точки M пространства определяется полярными координатами r и точки – проекции точки M на плоскость Oxy и аппликатой z самой точки M,то есть (рис. 15).
Рис. 15
Числа r, φ, z называют цилиндрическими координатами точки M.
При этом ,
При переходе к цилиндрической системе координат элемент объема равен , r -якобиан перехода.
Рис.16
Тогда справедлива формула
.
Пример Найти объём цилиндра высотой H и радиусом основания R.
Решение Изобразим данный цилиндр в системе координат Oxyz (рис. 17).
Рис. 17
3.2.3. Тройной интеграл в сферических координатах.
В сферической системе координат положение точки M в пространстве определяется расстоянием r от точки M до начала системы координат, полярным углом φ между положительным направлением оси Ox и проекцией радиус-вектора точки M на плоскость Oxy и углом θ между положительным направлением оси Oz и радиус-вектором точки M (рис. 18).
Числа r, φ, θ называют сферическими координатами точки M.
Рис. 18
При этом
, , , .
При переходе к цилиндрической системе координат элемент объёма равен , -якобиан перехода.
Рис.19
Тогда справедлива формула:
Пример Найти объём шара радиуса R.
Решение Изобразим шар в системе координат Oxyz (рис. 20).
Рис. 20
Тогда