Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим уравнения высших порядков, которые с помощью замены переменной сводятся к уравнениям первого порядка.

а) Дифференциальные уравнения вида y(n) = f (x)

Найдём его общее решение.

Так как y(n) = y(n - 1)¢ = , то dy(n - 1) = f (x) dx.

Интегрируя обе части, будем иметь:

y(n - 1) = () – это уже уравнение порядка (n – 1),

y(n-1) = (y(n - 2))¢ = , тогда dy(n – 2) = (.

Интегрируя обе части, получим:

y(n - 2) = , или

y(n - 2) = , - уравнение порядка (n – 2).

Понижаем таким образом порядок, пока не получим y.

Пример. yIII = - ;

(yII)¢ = - ; yII = - ;

(yI)¢ = + с1; yI = ;

y = , интегрируя по частям, получим:

y = - общее решение.

б) Уравнение вида: (yII) = f (x, y')

Это уравнение не содержит явно искомой функции y.

Решение. Введём новую функцию p (x), положив yI = p (x), тогда yII = = P¢. Подставляя в данное уравнение, получим: p¢ = f (x, p) – уравнение первого порядка.

Допустим, что найдено общее решение этого уравнения

p = j (x, c1). Но так как p (x) = yI, то yI = j (x, c1).

Тогда y = + c2 – общее решение.

Пример. Найти частное решение данного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям:

yII sin x = (1 + y¢) cos x;

Решение. yI= p (x), yII = . Данное уравнение примет вид:

= (1 + p) cos x; sin x dp = (1 + p) cos x dx.

Уравнение с разделяющимися переменными.

Делим переменные:

;

ln ç1 + pç=ln çsinxç + ln çc1ç 1 + p = c1 sin x;

p = c1 sin x – 1.

Ho р = уI, тогда

y = - c1 cos x – x + c2 – общее решение.

Находим частное решение, подставляя начальные условия:

1) 0 = - c1 × - + с2 с2 = .

2) - 1 = c1 – 1 c1 = 0.

Частное решение: y = - x + .

в) Уравнение вида y'' = f (y, y¢)

Оно явно не содержит аргумента x.

Решение. Для понижения порядка уравнения снова вводим новую функцию q (y), зависящую от переменной y, полагая y¢ = q (y).

Дифференцируем это равенство по x, учитывая, что y является функцией от x:

y¢¢ = = = × , т.е. y¢¢ = q .

Итак, yII = qq¢. Подставляя yI и yII, выражaя через q, q¢, получим:

qq¢ = f (y, q) или q = f (y, q).

Пусть функция q (y) = j (y, c1) является общим решением этого уравнения. Учитывая, что, q (y) = получим = j (y, c1) или

= dx.

Интегрируя, получим = ,

(y, c1) = x + c2 – общий интеграл данного уравнения.

Пример. Найти общее решение уравнения 2(yI) = (y – I)2 yII.

Решение: у' = q (y);

y'' = q q¢ = q ; 2q2 = (y – 1) q ;

1) q = 0; y¢ = 0; y = c;

2) 2q = (y – 1) ; = .

Интегрируем : = 2 ,

ln ï q ï = 2ln ï y - 1ï + ln ï c 1ï Þ q = c 1 (y – 1)2,

= c1 (y – 1)2; ;

= c1 x + c2;

y = 1– - общее решение данного решения.

Итак, уравнение вида y(n) = f (x), y¢¢ = f (x, y), y = f (x, y¢) для их решения допускают понижение порядка.

ОДНОРОДНЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  




Подборка статей по вашей теме: