Построить графики амплитудно-фазовой, вещественной и мнимой частотных характеристик для передаточных функций при следующих значениях параметров:
К=5; Т1=0,7; Т2=0,2; Т3=0,05; Т4=0,01; λ=0,8.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
Построение логарифмических частотных характеристик.
Для построения логарифмической амплитудной (ЛАЧХ) и фазовой (ЛФЧХ) частотной характеристик звена с произвольной дробно-рациональной передаточной функцией W(s) нужно ее числитель и знаменатель разложить на элементарные множители и представить W(s) в виде произведения передаточных функций элементарных звеньев:
(1)
или в виде
(2)
где представляет собой отношение произведений элементарных множителей 1-го и 2-го порядков с единичным передаточным коэффициентом, т.е. множителей вида Ts ± 1 и as2 ± bs + 1 (b2 — 4а < 0).
Из (2) получаем
(3)
Из (3) следует, что для построения ЛАЧХ произвольного звена достаточно построить ЛАЧХ элементарных звеньев, на которые она разлагается, а затем их геометрически сложить. Однако для построения асимптотических ЛАЧХ можно использовать несколько иное, более простое правило. Проиллюстрируем это сначала на частном примере.
|
|
Пусть Логарифмическая амплитудная частотная функция имеет вид
Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания:
ω 1 = = 0,1, ω2 = 1, ω 3 = = 10.
Здесь ω1, ω2 и ω3 — сопрягающие частоты апериодического, форсирующего и колебательного звеньев соответственно.
Напомним, что при построении асимптотических ЛАЧХ при частотах, меньших сопрягающей частоты, под корнем оставляют только единицу (остальными членами пренебрегают); при частотах, больших сопрягающей частоты, оставляют член с наивысшей степенью ω. Поэтому в рассматриваемом примере при ω < ω1
Это уравнение прямой, которая проходит через точку с координатами ω = 1 и L = 40 с наклоном —20 дБ/дек. Прямая имеет наклон —20дБ/дек (20дБ/дек); это означает, что при увеличении частоты на декаду (т.е. в 10 раз) L(ω) уменьшается (увеличивается) на 20 дБ (рис. 1 a).
Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте (рис. 1 б).
При ω 1 ≤ ω≤ ω 2 аналогично имеем
Это уравнение второй асимптоты. Ее наклон по отношению к первой асимптоте изменяется на - 20 дБ/дек и обуславливается апериодическим звеном, т.е. множителем 1-го порядка в знаменателе рассматриваемой передаточной функции. Вторую асимптоту проводят от конца первой асимптоты до второй сопрягающей частоты согласно ее уравнению под наклоном - 40 дБ/дек.
а б
Рис. 1.
При ω2 <ω<ω3
Это уравнение третьей асимптоты. Ее наклон по отношению ко второй асимптоте изменяется на 20 дБ/дек и обуславливается форсирующим звеном, т. е. множителем 1-го порядка в числителе. Третью асимптоту проводят от конца второй асимптоты до третьей сопрягающей частоты под наклоном - 20 дБ/дек.
|
|
При ω>ω3
Это уравнение последней, четвертой асимптоты. Ее наклон изменяется по отношению к третьей асимптоте на - 40 дБ/дек и обуславливается колебательным звеном, т. е. множителем 2-го порядка в знаменателе.
Теперь нетрудно сформулировать правило построения асимптотических ЛАЧХ в общем случае.
Правило построения асимптотических ЛАЧХ.
1) Пользуясь представлением (рис. 1.), вычислить 20lg(k)и сопряженные частоты ωi = 1/Ti, которые следует пронумеровать в порядке возрастания: ω 1 < ω2 <…
2) На оси абсцисс отметить сопрягающие частоты, а на координатной плоскости — точку (1, 20lg(k)). Построить первую асимптоту — прямую под наклоном - v20 дБ/дек, проходящую через отмеченную точку на координатной плоскости. Первая асимптота заканчивается на первой сопрягающей частоте ω 1.
3) Построить вторую асимптоту, которая начинается с конца первой асимптоты и проводится до второй сопрягающей частоты ω 2. Её наклон изменяется на ±20 дБ/дек или ±40 дБ/дек в зависимости от того, обуславливается ω 1 элементарным множителем 1-го или 2-го порядка. Берется знак плюс, если указанный множитель находится в числителе, и знак минус, если этот множитель находится в знаменателе.
4) Построить остальные асимптоты, которые строятся аналогично второй асимптоте: i-я асимптота начинается с конца предыдущей, (i- 1)-й асимптоты и проводится до сопрягающей частоты ωi. Его наклон определяется сопрягающей частотой ωi -1.
5) Последняя асимптота представляет прямую, которая начинается с конца асимптоты, закачивающейся на последней сопрягающей частоте, и уходит в бесконечность.
6)Примечание. Асимптотическая ЛАЧХ наиболее сильно отличается от точной ЛАЧХ в точках излома (при сопрягающих частотах). Причем в точках излома, где наклон изменяется на ±20 дБ/дек, это отличие (при условии, что соседние точки излома располагаются не очень близко) примерно равно ЗдБ/дек. В точках излома, где наклон изменяется на ±40дБ/дек, т.е. при сопрягающих частотах, обуславливаемых форсирующим звеном 2-го порядка или колебательным звеном, отклонение зависит от коэффициента ζ и при малых ζ может быть значительным.
Пример 1. Построить асимптотическую ЛАЧХ звена с передаточной функцией
Решение. 1) v = 0. Вычислим 20lg(k) и сопрягающие частоты:
201gk = 201gl0 = 20;
Проводим через точку с координатами (1, 20) первую асимптоту под наклоном 0дБ/дек (т.е. параллельно оси абсцисс) до первой сопрягающей частоты ω 1= 0,1 (рис. 2 а).
Так как первая сопрягающая частота ω 1обусловлена множителем 1-го порядка (10s+1), расположенного в знаменателе, наклон второй асимптоты изменяется на - 20 дБ/дек.
а) б)
Рис. 2
Поэтому вторую симптоту проводим от конца первой асимптоты до сопрягающей частоты ω 2= 1 под наклоном —20 дБ/дек.
Сопрягающая частота ω 2обусловлена элементарным множителем (s+1), расположенным в числителе. Поэтому наклон третьей асимптоты отличается от наклона второй на 20 дБ/дек и составляет 0 дБ/дек. Третью асимптоту проводим от конца второй асимптоты до сопрягающей частоты ω 3= 10.
Сопрягающая частота ω 3обусловлена элементарным множителем 0,01 s2 + 0,1s + 1, расположенным в знаменателе. Поэтому наклон последней, четвертой асимптоты отличается от наклона третьей асимптоты на - 40 дБ /дек и составляет - 40 дБ/дек. Последнюю асимптоту проводим от конца третьей асимптоты до бесконечности.
2) v = -1. Значения 20lg(k); и сопрягающих частот те же, что и в предыдущем случае. Первую асимптоту проводим через точку с координатами (1, 20) под наклоном - v 20 дБ/дек = 20 дБ/дек до первой сопрягающей частоты (рис. 2 б). Все последующие асимптоты строятся так же, как и в предыдущем случае.
|
|
Пример 2. Построить ЛАХ и ФЧХ для передаточной функции
K= 10; Т 1 = 0,5; Т 2 = 0,1; Т 3 = 0,05; Т 4 = 0,01; λ= 0,8.
Решение:
1. Запишем выражение для амплитудно-фазовой характеристики
2. На основании полученного выражения, взяв модуль, получим амплитудно-частотную характеристику
и
логарифмическую амплитудную характеристику(ЛАХ).
3. На основании того же выражения запишем функцию, описывающую фазо-частотную характеристику
Для вычисления этих характеристик и для построения графиков воспользуемся средствами MatLab.
Ниже приведена программа MatLab и результаты ее выполнения с краткими комментариями.
>>k=10;, T1=0.5;, T2=0.1;, T3=0.05;, T4=0.01;, L=0.8; %Заносим значения параметров передаточной функции.
>> w=logspace(-2,3,100); % Задаём 100 значений частоты от 0,01 до 1000.
>> A=k*((T2^2*w.^2+1).*(T3^2*w.^2+1)).^0.5./...
>>(w.*((1-T^2.*w.^2).^2+2*L*T1*w.^2).^0.5.*(T4^2*w.^2+1).^0.5); %Вычисляем значения амплитудно-частотной характеристики в заданных точках.
>>plot(log10(w),20*log10(A)) %Строим график ЛАХ. (рис. 3.)
>> grid on %Наносим сетку
Рис. 3.
Рис. 4.
>>F=-pi/2-atan(2*L*T1*w./(1-T1.^2*w.^2))+atan(T2*w)+atan(T3*w)-… atan(T4*w); %Вычисляем значение фазо-частотной характеристики в заданных точках.
>> figure %Открываем еще одно графическое окно
>> plot(log10(w),F) %Строим график зависимости фазы от частоты, рис. 5.
>>f=0.5*unwrap(2*F); %Устраняем разрыв фазы.
>>plot(log10(w),f*360/(2*pi)) %Строим график зависимости фазы от частоты с устраненным разрывом фазы, рис. 4.
>> grid on %Наносим сетку
Рис. 5.