Пусть плоскость и прямая заданы уравнениями:
Углом между прямой и плоскостью называется любой из двух смежных углов, образованных прямой и её проекцией на плоскость.
Обозначим через угол между прямой и плоскостью а - угол между векторами
Тогда Найдём = . Отсюда с учётом, что получаем:
) Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости:
Пример1. Найти взаимное расположение прямой и плоскости если: а)
б)
в)
г)
Решение:
а)Проверим, являются ли прямая и плоскость параллельными, вычислим для этого скалярное произведение направляющего вектора ={2; 7; 1} и нормали ={2; - 1; 3}: Видим, что следовательно, . Проверим, лежит ли прямая l в плоскости α, подставив
координаты точки M 0(1; –3; 7) в уравнение плоскости: Мы получили неверное равенство, следовательно, и . Таким образом,
б)В этом случае ={-1; 2; -1}, ={3; 1; -1}, M 0(0; –1; 2). Проверим, перпендикулярны ли векторы .Таккак следовательно, или Подставим координаты точки в уравнение плоскости Полученное верное равенство говорит о том, что , следовательно,
|
|
в) В этом случае ={3; 1; - 4}, ={6; 2; -8},
M 0(2;–3;1).Проверим,чемуравно скалярное произведение векторов , то
есть векторы не перпендикулярны. Следовательно, прямая l не может
ни лежать в плоскости α, ни быть ей параллельной. Проверяя, коллинеарны ли векторы видим, что (их координаты пропорциональны), то есть . Значит,
Можно найти точку пересечения прямой и плоскости решив совместно их уравнения: Для упрощения решения введем параметр в уравнении прямой (перейдем к параметрическому уравнению):
Получили, что точка N (–4; –5; 9) является общей для прямой l и плоскости α, следовательно,
г) В этом случае ={-1; 2; 1}, ={7; 3; 5}, M 0(–1; 7; –1). Так как , то прямая l не может ни лежать в плоскости α, ни быть ей параллельной. Координаты не пропорциональны:
то есть прямая l не перпендикулярна плоскости α. Так как исчерпаны все другие возможности, то остается только один вариант – прямая l и плоскость α пересекаются. Найдем точку их пересечения, решив совместно уравнения:
Получили, что точка является общей для прямой иплоскости следовательно,
Пример2. Найти точку симметричную точке
M (1,0,- 2) относительно прямой
Решение. Сначала составим уравнение плоскости , проходящей через точку M перпендикулярно прямой
Вектор нормали к плоскости совпадает с направляющим вектором прямой — = {1,2,- 3}. Тогда уравнение плоскости имеет вид: или Найдем координаты точки пересечения прямой и плоскости так, как мы это делали в задаче 1. Запишем параметрические уравнения прямой
Подставим эти выражения в уравнение плоскости и найдем соответствующее значение параметра
|
|
Итак, точка O имеет координаты
Поскольку точка O является серединой отрезка
Ответ: точка имеет координаты