І. Найпростіші задачі аналітичної геометрії на площині

Тема: Метод координат. Рівняння лінії на площині

Задача 1. Відстань між двома точками. Нехай задано дві точки М₁ (х₁, y₁), М₂ (х₂,у₂).

Відстань між двома точками обчислюють за формулою:

(1)

Задача 2. Ділення відрізка в заданому відношенні. Нехай задано дві точки М і N. Знайти точку С, яка належить відрізку MN і ділить його в заданому відношенні λ (рис. 1), тобто λ = (МС, CN — величини відповідних відрізків).

Розв'язання. Розглянемо вектори МС і CN. Очевидно, що вони колінеарні.

Тоді згідно з умовою

МС = λCN. (2)

Перейдемо тепер до системи координат. Якщо задано точки М(х₁, у₁); N(x₂, у₂) і шукана точка С(х, у), то МС = {х – х₁; у – у₁}, CN = {х₂-х; у₂ - у} і рівність (2) перейде у такі рівняння: x-x_l = λ (x₂-x), у-y₁ = λ (у₂-у), або х + λх = х₁ + λх₂, y + λy = y₁ + λy₂.

Звідки

, (λ ≠ -1) (3)

Зокрема, якщо С(х,у) — середина відрізка MN, то λ = 1 і із (3) дістаємо

,

Задача 3. Площа трикутника. Нехай задано три точки ; ; знайти площу трикутника .