Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть даны точка M^* (x^*, y^*) и прямая p: Ax+By+C= 0. Для определения расстояния d (M^*, p) от точки до прямой имеются различные методы. Два из них изложим схематично.

1) Проводим через M^* прямую . Затем находим точку . Тогда

2) Берем на прямой p две точки M ₁ и M ₂, т.е. находим два решения уравнения Ax+By+C= 0. Затем рассматриваем векторы и и строим на них параллелограмм. Искомое расстояние – это не что иное, как высота параллелограмма, опущенная из вершины M^* на сторону M ₁ M ₂. Высоту же можно найти через площадь:

3) Этот метод приведет нас к простой формуле, которую полезно запомнить.

Возьмем на прямой p некоторую точку M ₀(x ₀, y ₀). Искомое расстояние есть не что иное, как проекция (вернее, ее абсолютная величина) вектора

на направление

нормального вектора прямой p.

Поэтому имеем:

Тот факт, что означает, что Ax ₀ +By ₀ +C= 0 – верное равенство, из которого получим (–Ax ₀ –By ₀ )=C. Итак, мы получили полезную формулу для расстояния от точки M^* (x^*, y^*) до прямой p: Ax+By+C= 0:

Пример. Две стороны данного квадрата лежат на данных прямых

p ₁: 5 x– 12 y– 65 = 0 и p ₂: 10 x– 24 y+ 13=0. Найти его площадь.

Решение. Нормальные векторы и данных прямых коллинеарны (ибо их проекции пропорциональны). Значит, длина стороны квадрата равна расстоянию между этими прямыми d (p ₁, p ₂). Найдем какую-нибудь точку на одной из прямых, т.е. найдем какое-нибудь решение уравнения, например 5 x– 12 y– 65=0. Положим y= 0, тогда x= 13. Итак, точка Тогда

Искомая площадь квадрата: S= 5,5²=30,25.