● Пример 28. Через точку пересечения прямых и
провести прямую,
1) проходящую через начало координат;
2) проходящую через точку ;
3) параллельную оси ;
4) параллельную оси ;
5) параллельную прямой ;
6) перпендикулярную прямой ;
7) отсекающую на осях координат равные отрезки.
Анализ задачи Уравнение пучка прямых, проходящих через точку пересечения прямых и
имеет вид
- или
. (3.15)
Вектор - нормальный вектор этого пучка прямых.
Из системы имеем
,
, т.е. точка
- точка пересечения данных прямых.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и
провести прямую,
1) проходящую через начало координат;
1) Первый способ. Так как искомая прямая принадлежит пучку прямых и проходит через начало координат, то из . (3.15)
следует . Выбрав
, получим
. Искомое уравнение имеет вид
или
.
Второй способ. Так как искомая прямая проходит через начало координат, то уравнение этой прямой имеет вид . Точка
принадлежит этой прямой, поэтому
, откуда при
,
и
- уравнение искомой прямой.
|
|
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и
провести прямую,
2) проходящую через точку ;
2) Первый способ. Точка принадлежит пучку прямых, поэтому из
. (3.15)
имеем , откуда
,
,
и
- уравнение искомой прямой.
Второй способ. Искомая прямая проходит через точки и
, поэтому её уравнение
или
.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и
провести прямую,
3) параллельную оси ;
3) Первый способ. Если прямая параллельна оси , то общее уравнение этой прямой не содержит переменной
, т.е. в уравнении
. (3.15)
. Откуда при
и уравнение искомой прямой
или
.
Второй способ. Так как искомая прямая параллельна оси , то её общее уравнение не содержит переменной
и имеет вид
. Точка
принадлежит этой прямой, поэтому
, откуда при
,
и
- уравнение искомой прямой.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и
провести прямую,
4) параллельную оси ;
4) Первый способ.
. (3.15)
Если прямая параллельна оси , то
. Полагая
получим
. Уравнение искомой прямой имеет вид
или
.
Второй способ. Так как искомая прямая параллельна оси , то вектор
является направляющим вектором этой прямой. Искомая прямая проходит через точку
.
или
- уравнение искомой прямой.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и
провести прямую,
5) параллельную прямой ;
5) Первый способ.
. (3.15)
- нормальный вектор данной прямой. Так как прямые параллельны, то
и
, откуда при
и
- уравнение искомой прямой.
Второй способ. Искомая прямая параллельна прямой , поэтому вектор
является нормальным вектором обеих прямых. Искомая прямая проходит через точку
. Учитывая предыдущее, имеем
или
.
|
|
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и
провести прямую,
6) перпендикулярную прямой ;
6) Первый способ.
. (3.15)
- нормальный вектор данной прямой. Так как прямые перпендикулярны, то
и скалярное произведение нормальных векторов этих прямых равно нулю, т.е.
, откуда при
и уравнение искомой прямой
.
Второй способ. Нормальный вектор данной прямой является в этом случае направляющим вектором искомой. Учитывая, что прямая проходит через точку
, имеем
или
- уравнение искомой прямой.
● Пример 28. Через точку пересечения прямых и
провести прямую,
7) отсекающую на осях координат равные отрезки.
7) Первый способ.
. (3.15)
Так как прямая отсекает от координатных осей отрезки одинаковой длины, то .
Если ,то
, а
может быть выбрано произвольно. В частности, при
и искомое уравнение прямой
.
При имеем
откуда при
,
и
- уравнение искомой прямой.
Второй способ. Так как прямая отсекает на осях координат равные отрезки, то уравнение прямой в «отрезках» имеет вид . Координаты точки
удовлетворяют уравнению
, поэтому
, откуда
и
- уравнение одной из искомых плоскостей.
Координаты точки удовлетворяют уравнению
, поэтому
, откуда
и
- уравнение плоскости, отсекающая на осях координат равные «отрезки».
Ответ: 1) ; 2)
;3)
;
4) ; 5)
; 6)
:
7) ,
.
● Пример 29. Провести прямые, параллельные прямой , и отстоящие от неё на расстоянии двух единиц.
Решение. Приведём уравнение прямой к нормированному виду. Нормальный вектор данной прямой , и свободный член положителен, поэтому нормирующий множитель равен -
.Тогда
- нормированное уравнение прямой. Так как отклонение
искомых прямых от данной равно
, то
, откуда
и
- искомые уравнения.
Ответ: ,
.
● Пример 30. Сторона
треугольника
(рис.3.28) лежит на прямой
Через вершину
проведены биссектриса и высота. Составить уравнения остальных сторон этого треугольника, если
- уравнение
Рис. 3.28 биссектрисы, а точка - основание высоты.
Решение. Обозначим через точку пересечения прямой
и данной биссектрисы. Точка
есть общая точка прямых
и
, поэтому её координаты удовлетворяют системе
и
.
Вектор перпендикулярен прямой
, поэтому в качестве нормального вектора этой прямой может быть выбран вектор
.
. Точка
принадлежит этой прямой, поэтому
и
.
На прямой выберем произвольную точку
, отличную от
, например,
. Пусть точка
проекция точки
на биссектрису. Тогда вектор
параллелен нормальному вектору биссектрисы
, откуда
и
. Найдем точку
, симметричную точке
относительно биссектрисы.
,
.
Сторона принадлежит пучку
с центром в точке . Точка
принадлежит прямой
, поэтому
,
. Полагая
, имеем
и
- уравнение стороны
.
Ответ: ,
.