След и определитель

Следом квадратной матрицы A (обозначается Tr(A) или Sp(A)) называется сумма ее диагональных элементов,

Например,

Рис. 11 След матрицы

Очевидно, что

Sp(α A) = α Sp(A) и

Sp(A + B) = Sp(A)+ Sp(B).

Можно показать, что

Sp(A) = Sp(A ^t), Sp(I) = N,

а также, что

Sp(AB) = Sp(BA).

Другой важной характеристикой квадратной матрицы является ее определитель (обозначается det(A)). Определение определителя в общем случае довольно сложно, поэтому мы начнем с простейшего варианта — матрицы A размерностью (2×2). Тогда

Для матрицы (3×3) определитель будет равен

В случае матрицы (N × N) определитель вычисляется как сумма 1·2·3·... · N = N! слагаемых, каждый из которых равен

Индексы k ₁, k ₂,..., k_N определяются как всевозможные упорядоченные перестановки r чисел в наборе (1, 2,..., N). Вычисление определителя матрицы — это сложная процедура, которую на практике осуществляется с помощью специальных программ. Например,

Рис. 12 Определитель матрицы

Отметим только очевидные свойства:

det(I) = 1, det(A) = det(A ^t),

det(AB) = det(A)det(B).

Содержание