1. Критерий линейной зависимости векторов. Для того, чтобы векторы были линейно зависимыми, необходимо и достаточно, чтобы хотя бы один из этих векторов был представим в виде линейной комбинации всех остальных:
.
Мы выделили вектор , но это не налагает никаких ограничений, так как всегда можно произвести перенумерацию векторов.
Доказательство
Необходимость. По условию линейно зависимые векторы, и потому, по определению, существует такая совокупность чисел
из которых хотя бы одно отлично от нуля, что справедливо равенство
.
Пусть . Тогда, полагая
;
; …;
,
получим , то есть
.
Достаточность. Пусть .
Тогда .
Очевидно, что по меньшей мере одно из чисел в линейной комбинации в левой части этого равенства отлично от нуля и потому, на основании определения, векторы
линейно зависимы.
2. Если среди векторов имеется нуль-вектор, то рассматриваемые векторы линейно зависимы.
Доказательство. Пусть , тогда можно положить
, где
.
Следовательно, векторы , согласно критерию, линейно зависимы.
|
|
3. Если в совокупности векторов векторы
являются линейно зависимыми, то и векторы
линейно зависимы.
Доказательство. Действительно, если , то
и потому, согласно критерию, векторы линейно зависимы.
Теорема (об одинаково направленных векторах). Если векторы и
одинаково направлены, то
.
При этом разумеется, что .
Доказательство. Надо показать, что если и
, то векторы
и
равны. Действительно,
, т.е. модули векторов
и
равны. Далее,
.
Следовательно, направления векторов и
совпадают. Теорема доказана.
Теорема (о противоположно направленных векторах). Если векторы и
противоположно направлены, то
При этом разумеется, что .
Доказательство. Надо показать, что если и
, то векторы
и
равны. Действительно,
, т.е. модули векторов
и
равны. Далее,
. Следовательно, направления векторов
и
совпадают. Утверждение доказано.
Теорема (о связи между вектором и его ортом). Всякий ненулевой вектор может быть представлен в виде произведения модуля этого вектора на его орт:
Доказательство. Воспользуемся теоремой об одинаково направленных векторах. По определению и потому
.
Так как , то для любого ненулевого вектора справедливо равенство
,
что и требовалось доказать.
Следствие. Для орта ненулевого вектора справедливо равенство
.
Теорема (о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси). Составляющая вектора по оси равна произведению проекции рассматриваемого вектора на ось и орта той же оси, т.е.
где - любая ось,
- орт этой оси.
Доказательство. Проведем доказательство в предположении, что Согласно теореме о связи между вектором и его ортом,
.
|
|
При этом возможны следующие случаи:
1. .
Тогда по определению проекции вектора на ось . Кроме того
. Следовательно,
.
2.
Тогда и
. Значит,
. Таким образом
, что и требовалось доказать.
Справедливость рассматриваемого утверждения в том случае, когда (есть нуль-вектор), рекомендуем проверить самостоятельно.