Теорема. Всякий вектор может быть представлен в виде линейной комбинации всех координатных ортов с проекциями рассматриваемого вектора на соответствующие координатные оси, т.е.
.
Здесь используются обозначения: , , .
Доказательство.
Совместим начало вектора с началом декартовой системы координат, т.е. построим вектор такой, что .
Построим составляющие вектора по координатным осям:
, , .
Согласно определению суммы векторов,
, или, что то же самое, .
Если применить теперь теорему о связи между составляющей вектора по оси и ортом этой оси, то получим т.е. что и требовалось доказать.
Теорема. Разложение вектора по координатным ортам единственно.
Доказательство. Пусть . Покажем, что , , Вычислим проекцию вектора на ось . На основании теоремы о проекции суммы векторов на ось .
Воспользуемся теоремой о проекции на ось произведения вектора на скаляр. Тогда получим . Так как , , , то имеем и потому .
Аналогично можно доказать, что и