Рекомендации по отысканию корней уравнений с помощью MS Excel

Удобным средством отыскания корней уравнений произвольной степени является MS Excel. Решение задачи предполагает сле­дующие шаги:

1. Произвести табулирование заданной функции на некотором интервале с целью выявления (локализации) корней уравнения (перемена знака в значении функции). Иногда следует использовать табуляцию неоднократно для более точных оценок.

2. После локализации корней установить предельное число итераций и погрешность для вычисления корней (выполнить, команду Сервис/ Параметры и установить необходимые опции.

3. Осуществить непосредственное вычисление корней уравнения с использованием средства Подбор параметра (выполнить команду Сервис/ Подбор параметра).

4. Построить для наглядности график исследуемой функции.

Задание. Найти все корни уравнения:

х⁵ + 2х⁴ + 5х³ + 8х² - 7х - 3 = 0

Порядок выполнения:

Учитывая приведенные ранее рассуждения можно сделать вывод о том, что данный многочлен имеет три действительных корня, расположенных примерно между значениями - 4 и 4.

1. Выполните приближенное табулирование функции:

f(x) = х⁵ +2х⁴ + 5х³ + 8х² - 7х – 3 на отрезке [-10; 10]:

• в ячейки А12:А32 введите аргумент функции — значения отрезка [-10; 10] с шагом 1;

• в ячейку В12 внесите формулу:

=А12^{^}5+2*А12^{^}4+5*А12^{^}3+8*А12^{^}3-7*А12-3

и скопируйте её значение на весь диапазон табулирования В12:В32;

• вычислите значения функции на этом диапазоне (рис. 20, столбец А ). Определите по результатам вычисления, что значение функции f(х) меняет знак на отрезке [-3; 1].

Осуществите более точное табулирование функции на задан­ном отрезке:

· в ячейки D12:D52 введите аргумент функции f(x) — значе­ние отрезка [-3; 1] с шагом 0,1.

· в ячейку Е12 введите формулу, аналогичную формуле для ячейки В12, и скопируйте ее на весь диапазон значений ар­гумента функции:

=D12^{^}5+2*D12^{^}4+5*D12^3+8*D12^{^}2-7*D12-3;

· вычислите значение функции f(x) на этом диапазоне (см. рис. 20, столбец B) и постройте график для табулированной функции.

«Результаты точного табулирования функции дают 3 изменения знака на отрезке [-3; 1], что свидетельствует о наличии корней уравнения f(x) = 0.

С помощью средства Подбор параметра определите корни уравнения:

• для вычисления первого корня поместите указатель в ячейку Е14 (либо Е15) и выполните команду Сервис / Подбор параметра (рис. 21).

Рис. 20. Вычисление корней многочлена

Получим первый корень уравнения: x₁ = 0,789295735548989;

• аналогично вычислите оставшиеся два корня:

х₂ = -0,328038079539342; x₃ = -2,07299390058983.

Рис. 21. Нахождение корня уравнения с использованием Подбора параметра