Определение. Векторным произведением двух ненулевых векторов и называется такой вектор , что:
1. и тройка векторов – правая ;
2. .
Обозначение: или .
Простейшие свойства векторного умножения
1. .
Доказательство. Если или , то доказательство очевидно. Если и , то .
2. Геометрический смысл векторного произведения: если из одной точки пространства построить представителей векторов и , и на этих отрезках достроить параллелограмм, то площадь параллелограмма будет равна модулю векторного произведения .
Алгебраические свойства векторного умножения
1. Антикоммутативность: .
2. Ассоциативность (относительно скалярного множителя): =
3. Дистрибутивность: = .
Следствие. Исходя из свойств векторного умножения, можно умножать линейную комбинацию векторов на другую линейную комбинацию некоторых векторов по правилу умножения многочленов. Но здесь важно учитывать порядок сомножителей в силу антикоммутативности векторного умножения векторов.
Пример
=
Векторное произведение в координатной форме
|
|
Пусть в репере векторы имеют координаты: , , , где . Имеем разложение по базису: , . Вектора базиса связаны соотношениями: и .
Так как = = , то:
То есть, вектор имеет координаты: .
Существует такая условная запись: .
Пример. . Тогда:
.
Задача. Определите площадь треугольника по координатам его вершин.
Пусть в репере R= даны точки , , . Тогда площадь треугольника равна половине площади параллелограмма, натянутого на вектора .
Используя геометрический смысл векторного произведения, имеем:
Вычисляем: Пусть . Тогда
,