Значение корреляционного момента зависит от единиц измерения случайных величин и . Безразмерным аналогом является коэффициент корреляции, определяемый формулой:
,
где - средние квадратические отклонения случайных величин и .
Свойства коэффициента корреляции.
1. , если случайные величины и являются независимыми.
(Свойство очевидно, так как в этом случае ).
2. Коэффициент корреляции по модулю не превосходит 1: .
▲ В соответствии со свойством 1 дисперсии
.
Положим . Тогда
,
откуда
.
Следовательно,
, и поэтому .■.
3. тогда и только тогда, когда случайные величины и связаны линейной зависимостью, то есть существуют действительные числа А и В такие, что .
▲ Необходимость. Предположим, что . Тогда и из доказательства свойства 2 следует, что при . В соответствии со свойством 1 дисперсии это означает, что , откуда и значит .
Достаточность. Пусть . Тогда , а корреляционный момент случайных величин и равен
.
Поэтому ■.
Итак, для независимых случайных величин и достигает максимального по модулю значения для сильно (линейно) зависимых случайных величин. Поэтому значение коэффициента корреляции можно интерпретировать как степень линейной зависимости между случайными величинами.
|
|
Геометрическая иллюстрация: чем больше по модулю , тем плотнее значения случайного вектора располагаются вдоль некоторой прямой.
Многомерный случай.
Основными числовыми характеристики -мерного случайного вектора являются:
· математическое ожидание ;
· корреляционная матрица , элементами которой являются всевозможные попарные корреляционные моменты координат: .
Свойства корреляционной матрицы.
1. Матрица является симметрической размера : , .
2. На диагонали матрицы расположены дисперсии координат случайного вектора : , .
3. Матрица является неотрицательно определенной матрицей, то есть для любого и для любых действительных чисел
.
▲ Обозначим - центрированную случайную величины, . Тогда и для произвольных чисел имеем:
■.
Наряду с корреляционной матрицей , иногда рассматривают нормированную корреляционную матрицу , элементами которой являются всевозможные попарные коэффициенты корреляции координат: . Отличие ее от просто корреляционной матрицы состоит в том, что у нормированной корреляционной матрицы все диагональные элементы равны 1: .