Отчёт по лабораторной работе № 4.
По дисциплине: Общая и техническая физика
(наименование учебной дисциплины согласно учебному плану)
Тема: Измерение параметров электромагнитного контура
Выполнил: студент гр. НГ-07-2 ______________ / Хабибуллин Э.И. /
(подпись) (Ф.И.О.)
ОЦЕНКА: _____________
Дата: __________________
ПРОВЕРИЛ:
Преподаватель: ______ ____________ /Пантюшин/
(должность) (подпись) (Ф.И.О.)
Санкт-Петербург
2008 год.
Цель работы: Экспериментальное определение индуктивности и добротности электромагнитного контура
Общие сведения
Период колебаний -время одного полного колебания.
Индуктивность контура равна отношению собственного магнитного потока, созданного некоторым током, протекающим по контуру, к силе этого тока.
Электроёмкость данного проводника это величина равная отношению заряда, сообщённого проводнику, к изменению потенциала, вызванному этим зарядом.
ДобротностьQ,величина обратно пропорциональная логарифмическому декременту затухания.
Электрический колебательный контур состоит из ёмкости С, индуктивности L 1 и активного сопротивления R проводов (рис.2). При помощи функционального генератора (FG) напряжение прямоугольных импульсов низкой частоты (f о ≈ 500 Гц) подается на катушку возбуждения L. Резкое изменение магнитного поля вызывает появление напряжения в катушке L 1и создает за счёт активного сопротивления затухающие свободные колебания в колебательном L 1 C– контуре, частота ƒ (период Т) и амплитуда напряжений которых измеряется с помощью осциллографа (Аналоговый вход CH1). Для контура L 1 C имеются катушки различных длин l, диаметров 2 r и числа витков N (соответствующие значения для номера каждой катушки представлены в таблице 2), емкость считается известной и установлена в разъёмник. Внешний вид всей установки представлен на рисунке 1.
|
|
Таким образом, благодаря импульсному характеру наведенного внешнего магнитного поля с катушки L на катушку L 1, в последней возникает индукционный ток, впоследствии чего конденсатор С начинает заряжаться, а потом разряжаться. Такие периодические изменения зарядов, напряжений и токов в контуре носят название электромагнитных колебаний. При этом происходит непрерывный переход энергии электрического поля в конденсаторе в энергию магнитного поля в катушке и обратно. В некоторый момент времени полная энергия колебаний:
,
где U и i – мгновенные значения разности потенциалов и тока. В те моменты времени, когда конденсатор полностью разряжен (U = 0), ток достигает максимального значения Im , и полная энергия контура равна энергии магнитного поля:
Полная энергия колебаний постепенно уменьшается, так как электрическая энергия благодаря сопротивлению проводов R непрерывно превращается в тепловую и рассеивается в окружающее пространство.
|
|
Составим дифференциальное уравнение колебаний в контуре. Пусть q – мгновенное значение заряда на обкладках конденсатора и U – разность потенциалов между обкладками в тот же момент времени. Тогда полное напряжение в цепи равно сумме действующих ЭДС. Так как в цепи действует только ЭДС самоиндукции:
,
.
Подставив в это равенство значения , получим:
, (1)
Разделим обе части уравнения (1) на L 1 и введём обозначения:
, (2)
(3)
где величина a называется коэффициентом затухания; w 0 – собственная частота колебаний контура. Тогда дифференциальное уравнение колебаний примет вид:
(4)
Уравнение (4) – линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и постоянными коэффициентами. Решения этого уравнения имеют различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентами. Положим, что w 0 > a , тогда:
(5)
где q 0 – максимальное значение заряда на обкладках конденсатора; j – начальная фаза колебаний; w – частота затухающих электрических колебаний:
. (6)
При R = 0 и a = 0
,
а период этих колебаний (рис.3, кривая 1) составляет:
. (7)
В случае затухающих колебаний R ¹ 0 (рис.3, кривая 2) и период:
. (7 ’)
Решение (5) является аналитическим выражением затухающих колебаний. Большему значению коэффициента a соответствует кривая 3 (рис.3). Хотя затухающие колебания не являются периодическим процессом в строгом смысле этого слова, они обладают определённой повторяемостью в том смысле, что максимальные и минимальные значения заряда, а также тока и напряжения достигаются через одинаковый промежуток времени. Этот промежуток времени и называется периодом Т затухающих колебаний.
Для выяснения физического смысла коэффициента a рассмотрим тепловые потери WR на сопротивлении R за полупериод Т /2:
,
где < Р > – среднее за период значение тепловой мощности, выделившейся на сопротивлении R. Для синусоидального тока:
.
Полный запас энергии колебательного контура:
.
Отношение энергии, израсходованной в контуре за полупериод на нагревание W R (тепловые потери), к энергии колебаний W L:
.
Используя обозначения (2),получим:
,
где q называется логарифмическим декрементом, который вместе с коэффициентом затухания характеризует потери энергии в контуре.
Как следует из (6), при a > w 0 частота w оказывается мнимой, т.е. колебаний в контуре не будет. Разряд конденсатора будет апериодическим (рис.3 кривая 4 и 5). Логарифмический декремент может быть определён и другим путём. Пусть q n и q n+1 – амплитуды заряда конденсатора в момент времени t n и t n+1, причём t n+1 = t + T. Тогда ; и, следовательно,
.
Как видно из полученного соотношения, отношения последующих амплитудных значений заряда не зависит от номера максимумов и является постоянной величиной для данного контура.
Прологарифмируем соотношение:
. (8)
Таким образом, логарифмический декремент контура можно определить, как натуральный логарифм отношения последующих амплитуд заряда конденсатора. В радиотехнической практике чаще пользуются величиной, обратно пропорциональной логарифмическому декременту q и называемой добротностью Q:
или . (9)
Добротность контура может быть представлена и так:
где N – полное число колебаний, за которое амплитуда колебаний уменьшается в е раз. Следовательно, чем выше добротность, тем медленнее рассеивается запас энергии контура.
Если ток силой проходит через катушку L 1 (соленоид) длиной , поперечным сечением и количеством витков , в катушке возникает магнитное поле. При l >> r магнитное поле однородно, а его напряженность рассчитывается по формуле:
(10)
Магнитный поток через катушку равен:
|
|
(11)
где μο –магнитная постоянная, μ – магнитная проницаемость среды.
При изменении магнитного потока возникает напряжение на концах катушки,
(12)
где
(13)
является индуктивностью катушки (коэффициентом самоиндукции).
Выражение (13) справедливо только в случае однородного магнитного поля при l >> r.
На практике значение индуктивности катушек при l > r можно рассчитать по формуле:
, при (14)
В ходе выполнения эксперимента можно рассчитать индуктивность катушек с различными характеристиками, исходя из собственной частоты колебательного контура:
(15)
Следовательно, индуктивность можно рассчитать по формуле:
(16)
Основные расчётные формулы:
1. Коэффициент затухания
,
где qn и qn+1 – амплитуды заряда конденсатора в момент времени tn и tn+1; Т – период колебаний.
2. Добротность контура
3. Период колебаний
где L – индуктивность; R – активное сопротивление; C – емкость.
4.Индуктивность
, при
где l-длина, N-количество витков, r-радиус.
5. Индуктивность
где f-частота, C-емкость.
Формулы погрешности:
1. Относительная погрешность косвенных измерений периода колебаний
2. Относительная погрешность косвенных измерений коэффициента затухания
3. Относительная погрешность косвенных измерений добротности контура
Схема установки:
Таблица результатов эксперимента:
№ катушки | С, мкФ | qn, мм | qn+1, мм | Тэксп, с | Трасч, с | L 1 эксп, мГн | L 1 расч, мГн | ln(qn/qn+1) | a,c-1 | Q |
0,47 | 0,27 | 0,2 | 0,146 | 0,00022 | 2,15*10-4 | 2,67 | 0,30 | 2,06 | 0,223 | |
0,47 | 0,1475 | 0,115 | 0,14 | 0,00018 | 2,15*10-4 | 1,81 | 0,25 | 1,78 | 0,247 | |
0,47 | 0,1 | 0,085 | 0,1 | 0,00015 | 2,15*10-4 | 1,26 | 0,16 | 1,63 | 0,193 | |
0,47 | 0,2075 | 0,1625 | 0,14 | 0,00017 | 2,15*10-4 | 1,63 | 0,24 | 1,75 | 0,252 | |
0,47 | 0,1325 | 0,115 | 0,09 | 0,00011 | 2,15*10-4 | 0,68 | 0,14 | 1,57 | 0,180 | |
0,47 | 0,06 | 0,0525 | 0,06 | 0,00008 | 2,15*10-4 | 0,31 | 0,13 | 2,23 | 0,085 |
Таблица Характеристики катушек
№ катушки | мм | мм | № по каталогу | |
11006.01 | ||||
11006.02 | ||||
11006.03 | ||||
11006.04 | ||||
11006.05 | ||||
11006.06 | ||||
11006.07 |
Примеры расчётов:
Расчет погрешности:
|
|