1) Векторное произведение коллинеарных векторов равно нулю.
.
2) Антикоммутативность: .
3) Ассоциативность относительно скалярного множителя:
().
4) Дистрибутивность: .
Таблица векторного умножения ортонормированного базиса , , .
.
Для запоминания можно воспользоваться круговым правилом:
Если перемещаться последовательно от одного к другому вектору против хода часовой стрелки, то следующий вектор надо писать со знаком (+), а по ходу стрелки следующий вектор со знаком (-).
Пример 12. Даны точки , , , .
Найти векторное произведение и его модуль.
Решение. Найдем
, ,
,
По формуле векторного произведения, имеем
.
Таким образом, векторное произведение имеет координаты:
, а его модуль
.
Пример 13. Даны точки , , .
Найти площадь треугольника .
Решение. Найдем , .
Векторное произведение и его модуль найдем как.
,
, .
Применив формулу площади для треугольника , построенного на векторах и , запишем . Отсюда получаем, что (кв. ед.).
Пример 14. Найти , если , , , .
Решение. Используя свойства векторного произведения, упростим конструкцию вектора , а именно:
|
|
.
Так как , то . Следовательно,
.
Теперь по формуле модуля векторного произведения, получаем
.
Пример 15. Зная векторы и , вычислите длину высоты треугольника (см. рис).
Решение. Обозначая площадь треугольника через , получим:
. Тогда , . С другой стороны, площадь треугольника определяется через векторное произведение как: .
Длину стороны найдем из равенства: . Значит, вектор имеет координаты .
.
Следовательно, модуль этого векторного произведения равен:
,
Откуда
.
Пример 16. Даны два вектора и . Найдите единичный вектор , ортогональный векторам и и направленный так, чтобы упорядоченная тройка векторов , , была правой.
Решение. Обозначим координаты вектора относительно данного правого ортонормированного базиса через .
Поскольку , и , то , . По условию задачи требуется, чтобы и .
Имеем систему уравнений для нахождения :
Из второго уравнения системы получим: . Подставим в первое
.
Подставляя и в третье уравнение, будем иметь: , откуда .
Используя условие , получим неравенство
Или
Отсюда
С учетом выражений для и перепишем полученное неравенство в виде: , откуда следует, что . Итак, , , .