Вынужденные колебания

Если в колебательный контур (рис. 9.9) последовательно со всеми элементами цепи включить источник переменной ЭДС, то получится цепь, изображенная на рис. 9.7 а. Колебания, происходящие в таком контуре, называются вынужденными. В разделе (9.4) мы изучили процессы, происходящие в такой цепи при условии неизменности частоты колебаний. Сейчас рассмотрим частотные характеристики вынужденных колебаний заряда и напряжения на конденсаторе.

Получим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Закон Ома будет иметь вид . Выполняя такие же действия, как и в разделе 9.5, получим:

(9.13)

Данное дифференциальное уравнение называется неоднородным, так как правая часть его отлична от нуля. В теории дифференциальных уравнений доказывается, что общее решение такого уравнения есть сумма общего решения q₁(t) соответствующего однородного уравнения и любого частного решения q₂(t) данного неоднородного уравнения. Однородное уравнение описывает, как мы видели, затухающие колебания. Нетрудно проверить простой подстановкой в (9.13) справедливость следующего частного решения:

Общее решение неоднородного уравнения будет иметь вид:

Непосредственно после включения источника ЭДС в контуре будет наблюдаться наложение затухающих колебаний с частотой w' и колебаний с частотой w, т.е. с частотой колебаний вынуждающей ЭДС. Через некоторое время затухающие колебания прекратятся, и в контуре будут существовать колебания только с частотой w. Такие вынужденные колебания называются установившимися. Именно такие колебания мы изучали в разделе 9.4. Амплитуду колебаний заряда на конденсаторе можно найти, используя решение уравнения для смещения пружинного маятника (см. раздел "Механика"). Заменив амплитуду смещения на амплитуду заряда, а массу маятника на индуктивность, получим:

(9.14)

Выражения для разности фаз между зарядом и вынуждающей ЭДС можно взять без изменений

. (9.15)

Из формулы (9.14) видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от амплитуды вынуждающей ЭДС и соотношения частоты w₀ свободных колебаний и частоты w вынуждающей ЭДС. Кроме того, амплитуда зависит также от коэффициента затухания b. При w = 0(постоянное напряжение) . При этом напряжение на конденсаторе – конденсатор заряжен до напряжения, равного ЭДС источника[2].

Резонансную частоту можно найти, продифференцировав подкоренное выражение в знаменателе (9.14) и приравняв полученное выражение нулю. Получим: . Резонансная частота колебаний заряда (напряжения на конденсаторе) несколько ниже, чем резонансная частота колебаний тока в контуре (см. раздел 9.4). Причем чем больше коэффициент затухания, тем сильнее резонансная частота отличается от w₀ (см. рис. 9.11).

Значение амплитуды заряда при резонансе найдем, подставив в (9.14) выражение для резонансной частоты. Имеем: .

В случае малого затухания (b << w₀, w_рез» w₀) получим:

,

или , где Q – добротность контура.

В случае малого затухания заряд (или напряжение) на конденсаторе в Q раз больше, чем на постоянном токе (или, что почти то же самое, при очень малой частоте колебаний).

Уменьшение добротности приводит не только к уменьшению амплитуды при резонансе, но и расширению относительной полосы пропускания контура Dw/w_рез. Абсолютная полоса пропускания Dw определяется как диапазон частот, на краях которого

.

Нетрудно показать, что при малом затухании .

Колебания заряда (и напряжения на конденсаторе) происходят со сдвигом по фазе j относительно вынуждающей ЭДС. Анализ выражения (9.15) показывает, что при низких частотах колебаний (w» 0) колебания заряда (и напряжения) на конденсаторе происходят в одинаковой фазе с колебаниями ЭДС (tgj = 0 и j =0). При w=w₀, т.е. практически при резонансе tgj® –¥ и j = – p /2. Как мы видели в разделе 9.4, при w=w₀ колебания тока происходят в фазе с колебаниями ЭДС, так как колебания тока сдвинуты относительно колебаний напряжения на конденсаторе (и заряда) на угол p /2.

Фазочастотные характеристики для разных значений затухания приведены на рис. 9.12.

[1] Именно с такой частотой происходят колебания в контуре при отсутствии затухания.

[2] Напомним, что сейчас речь идет об установившихся состояниях. Сразу после включения источника происходит процесс зарядки конденсатора, который мы не рассматриваем.