Составление уравнений рассмотрим на примере нахождения уравнения плоскости проходящей через три заданные точки, не
принадлежащие одной прямой.
Пусть заданы точки А1(2;−1;3), А2(1;1;1), А3(− 4;0;3). Их радиус векторы , , имеют такие же координаты. Пусть = , = . Тогда, вводя векторы
получим
Убедимся, что точки А1,А2,А3 не принадлежат одной прямой.
Действительно
= 6, = 0.5, = 0,
и, следовательно, векторы и неколлинеарные.
Уравнение плоскости А1А2А3 имеет вид
Раскроем определитель с помощью ЭВМ. Для этого нужно на-
брать
Итак, плоскость А1А2А3 имеет уравнение
2x + 12y + 11z − 25 = 0.
3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Векторные и скалярные величины. Определения направленного отрезка, вектора. Линейные операции над векторами в геометрической форме (сумма, разность, произведение вектора на число) и их свойства.
2. Определения коллинеарных, ортогональных и компланарных векторов. Необходимые и достаточные условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов (в векторной и координатной формах.
|
|
3. Определения векторного пространства, базиса и размерности векторного пространства, координат вектора в базисе. Операции над векторами в координатной форме. Сформулировать теоремы о базисах в пространствах V1, V2, V3.
4. Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве (декартова система координат, разложение вектора по базису системы координат, координаты точек). Доказать соотношения между координатами вектора и координатами точек "начала" и "конца" вектора.
5. Прямоугольные проекции вектора на ось и их свойства.
6. Выражение модуля (длины) и направляющих косинусов вектора через декартовы координаты вектора.
7. Скалярное произведение векторов и его свойства. Необходимое и достаточное условие ортогональности векторов.
8. Выражение скалярного произведения векторов через декартовы координаты этих векторов. Нахождение модуля вектора и угла между векторами.
9. Ориентация тройки векторов в пространстве. Векторное произведение векторов и его свойства. Выражение векторного произведения векторов через декартовы координаты этих векторов. Вычисление площади параллелограмма и треугольника.
10. Смешанное произведение векторов и его свойства. Выражение смешанного произведения векторов через декартовы координаты этих векторов. Вычисление объёма параллелепипеда и треугольной пирамиды.
11. Понятие об уравнении линии на плоскости.
12. Нормальный вектор прямой. Общее уравнение прямой на плоскости. Угол между прямыми на плоскости, условия параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости.
13. Уравнение прямой "с угловым коэффициентом" (уравнение прямой, разрешённое относительно координат). Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых (заданных уравнениями "с угловым коэффициентом").
|
|
14. Направляющий вектор прямой. Каноническое и параметрические уравнения прямой на плоскости. Угол между прямыми, условия параллельности и перпендикулярности прямых (заданных каноническими уравнениями).
15. Расстояние от точки до: прямой на плоскости; прямой в пространстве; плоскости в пространстве.
16. Понятие уравнения поверхности в пространстве.
17. Нормальный вектор плоскости. Общее уравнение плоскости в пространстве. Угол между плоскостями, условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.
18. Уравнение плоскости, проходящей через три точки, не принадлежащие одной прямой.
19. Уравнение прямой в пространстве: общее, каноническое, параметрические. Угол между прямыми в пространстве, условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве (заданных каноническими уравнениям).
20. Уравнение прямой, проходящей через две заданные, различные точки (на плоскости; в пространстве).
21. Угол между прямой и плоскостью в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Физматлит, 2009. − 224с.
2. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии. М.: Физматлит, 2004. − 224с.
3. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. СПб.: Издательство «Лань», 2010. − 224с.
4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х ч. Ч.1. М.: Высш. шк., 2000. −304с.
5. Сборник задач по математике для ВТУЗов. В 4-х частях: Ч1. / Под общей ред. А.В. Ефимова и А.С. Поспелова.- М.: Издательство физико-математической литературы, 2009. −288с.
6. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. М.: Джангар, Большая Медведица, 2001. −863с.
7. Бредихина О.А., Шеставина С.В. Векторная алгебра и аналитическая геометрия. [Электронный ресурс]: методические указания по выполнению М2 / ЮЗГУ. Курск. 2013. −18с.
8. Плис А. И. Mathcad 2000. Математический практикум для экономистов и инженеров: Учеб. пособие для студ. вуз. / А. И. Плис, Н. А. Сливина. - М.: Финансы и статистика, 2000. − 656 с.