11.2.1. Групи підстановок
Розгляд деяких систем можна почати із групи підстановок, загального опису яких наводився раніше. Групова операція задається внутрішнім законом композиції – композицією підстановок. Необхідно звернути увагу на зміст слова «композиція» у попередній фразі.
Визначення. Композиція (добуток) підстановок а й b — це композиція двох взаємно однозначних відображень множини об'єктів N на себе, тобто N a® N b® N, у результаті чого виходить деяка підстановка ab.
Опреділення. Закон композиції - це відображення множини всіх пар підстановок (а, b) на множину підстановок S, тобто S´S®S, що здійснюється відповідно до правила композиції (множення) підстановок.
Нейтральним елементом у групі підстановок є тотожна
підстановка е, а симетричним елементом для будь-якої підстановки а — симетрична підстановка а-1. Тому що композиція підстановок не підкоряється комутативному закону (ab ¹ bа), то група підстановок n-го ступеня при n >3 - не комутативна.
Якщо множина N кінцева й містить n чисел, то множина S всіх підстановок n-го ступеня також кінцева й містить n! елементів. Така група називається симетричною групою порядку n! (порядок групи визначається числом її елементів).
|
|
Підгрупи симетричних груп називають групами підстановок. До них належать одинична група, що містить тільки нейтральний елемент (тотожну підстановку), і сама симетрична група. Однак, крім цих тривіальних груп, є багато підгруп симетричної групи, що є групами підстановок.
Приклад. Групу утворює множина всіх парних підстановок (знакозмінна група). Множина всіх підстановок, що переводить Якій-небудь елемент у себе, також є групою.
Підгрупами симетричних груп вичерпуються всі скінченні групи.