Математическая эвристик»

Существуют три основные области знания, в которых возможны открытия: естествознание, техника и математика. Иллюстрируя ведущую к открытию способность предвосхищения, я ссылался на примеры в каждой из этих областей. Эта способность явно имеет одну и ту же природу во всех трех случаях. Однако философы уделяли внимание почти исключительно процессу эмпирического открытия в естествознании, пытаясь дать определение и обоснование процессу индукции. В противоположность этому» по-видимому, никто не пытался сделать тоже самое в отношении процесса, посредством которого создаются технические нововведения, например изобретаются новые машины.

В математике процесс открытия отчасти привлекал к себе внимание, а за последние годы исследовался как с логической, так и с психологической точек зрения. Однако* ни тот, ни другой подход не привел к постановке каких-либо эпистемологических вопросов, сопоставимых с темИг которые в течение столетий с таким усердием и настойчивостью рассматривались в связи с эмпирической индукцией. По моему мнению, всякая серьезная попытка проанализировать процесс открытия должна носить в достаточной-мере общий характер, чтобы быть применимой ко всем трем областям систематического знания. Мне хотелось бьт здесь внести некоторый вклад в эту программу путем описания и верификации способностей, на которые мы опираемся при решении математических задач. При этом я пока-отвлекусь от истории крупнейших математических открытий, изменявших самые основы математики, и ограничусь задачами, которые предлагаются студентам в процессе обучения их математике. Поскольку студенты не знают решений этих задач, процесс нахождения решения приобретает характерные черты открытия, хотя и не влечет за собой фундаментальных сдвигов в мировоззрении.

Тот факт, что обучение математике в большой мере опирается на практические навыки, показывает, что даже эта' наиболее высокоформализованная отрасль знания может быть освоена только путем овладения своего рода искусством. Это верно не только в отношении математики и формальной логики, но в равной мере в отношении всех математизированных дисциплин, например механики, электродинамики, термодинамики, а также основанных на исполь-163

зовании математики областях инженерной деятельности. Вы не сможете освоить ни одной из этих дисциплин, если не будете решать имеющихся в них конкретных задач. Во всех этих случаях вы будете добиваться определенного навыка, который заключается в преобразовании языка, усвоенного вами лишь пассивно, в эффективный инструмент, применимый и к новым предметным.областям: если говорить специально о математике, к решению математических задач.

Поскольку решение математических задач есть эвристический акт, своего рода прыжок, преодолевающий логический разрыв, то любое правило, какое можно здесь выдвинуть в качестве руководства, будет не более чем сводкой неких максим, интерпретация которых с необходимостью предполагает владение теми самыми навыками, к которым они относятся.

Простейшее эвристическое усилие — это поиск вещи,

•которую вы положили не на свое место. Когда я ищу свою авторучку, я знаю, что именно я хочу найти; я могу ее назвать и описать. Хотя о своей авторучке я знаю гораздо

•больше, чем могу даже вспомнить, тем не менее я в точности не знаю, куда я ее положил. Но саму-то ручку я знаю отчетливо, знаю и то, что она находится где-то внутри «определенной пространственной области, хотя и не знаю, где именно. Гораздо меньше я знаю о вещи, которую ищу, когда занимаюсь поисками слова, разгадывая кроссворд. 'В атом случае я знаю только, что в искомом слове столько-то букв и что оно означает, например, нечто крайне необходимое в Сахаре или вытекающее из крана. Эти характеристики суть просто ориентиры к слову, которого я с определенностью не знаю, — ориентиры, из которых я должен

•попытаться извлечь намек на то, каким может оказаться "неизвестное слово. Если же взять пример с именем, которое я хорошо знаю, но не могу вспомнить в данный момент, то этот пример лежит где-то посередине между двумя предыдущими случаями. Это имя более непосредственно предоставлено моему сознанию, чем неизвестное решение кроссворда, но оно, возможно, более удалено от него, чем авторучка и то неизвестное место, где она лежит. Математические задачи относятся к тому же классу, что и кроссворды, "ибо для решения такой задачи мы должны найти или сконструировать нечто, чего мы до сих пор не видели, имея в качестве ориентиров определенные данные.

Проблема может разрешаться с помощью систематической процедуры. Я могу быть уверен, что в конце концов

разыщу свою авторучку, если обследую дюйм за дюймом всю квартиру, в которой, как я знаю, она находится. Шахматную задачу я мог бы решить путем механического перебора всех сочетаний возможных ходов (своих и противника). Многие математические задачи тоже решаются с помощью систематических процедур, которые правда слишком трудоемки, чтобы их выполнять на практике'. Ясно, что любая из них приводит к решению без преодоления логического разрыва и не будет представлять собой эвристический акт2.

Различие между двумя типами решения задач, систематическим и эвристическим, воспроизводится в том факте, что, если систематическая операция есть всецело запрограммированный акт, эвристический процесс есть комбинация активных и пассивных фаз. На стадии подготовки имеет место сознательная эвристическая деятельность. Если после этого следует период созревания, то в продолжение этого периода на уровне сознания ничего не делается и ничто не происходит. Приход удачной мысли на стадии подготовки или после периода созревания есть плод предшествовавших усилий исследователя, но само по себе это не есть действие как таковое. Это то, что просто случается с ним. И снова проверка «счастливой мысли» в процессе верификации есть еще одно запрограммированное действие исследователя. Но даже если так, все равно решающий акт открытия, очевидно, совершился до этого, в момент, когда возникла счастливая мысль.

Хотя решение той или иной задачи есть нечто, с чем мы прежде никогда не встречались, тем не менее в эвристическом процессе это решение играет роль, подобную положенной не на свое место авторучке или забытому имени, которое мы хорошо знаем. Мы ищем это решение как что-ю такое, что уже перед нами имеется, как нечто пресуще-ствующее. О задачах, которые дают студентам, конечно,

' А. М. Тьюринг подсчитал число возможных конфигураций, которые необходимо принять во внимание в процессе решения весьма распространенной головоломки, состоящей в перемещении квадратных фишек с целью получения определенной фигуры. Получилось число 20922789888000. Если заниматься этой головоломкой непрерывно день и ночь и обозревать каждый вариант по одной минуте, процедура отнимает четыре миллиона лет (Turing А. М., — In "Science News", 1954, 3i).

2Но при этом мы не принимаем во внимание тот минимальный логический разрыв, который подразумевается в формальном процессе умозаключения.

мзвестно, что у яих есть решение; но вера в существование 'скрытого от нас решения, которое мы можем оказаться в состоянии найти, важна также при нашей встрече с никогда еще не решавшейся задачей и при работе над ной. •Эта вера определяет способ, посредством которого «счастливая мысль» в конечном счете находит себе выражение как нечто внутренне приемлемое в данном случае: не как одна из множества идей для размышления на досуге, но.как идея, убеждающая нас с самого начала. Вскоре мы.увидим на основании более подробного анализа рассматриваемого процесса, что эта вера есть необходимое следствие метода, которым стремление к эвристическому решению достигает своего осуществления.

Задача есть интеллектуальное желание («квазипотребность», но терминологии К. Левина), и, как всякое желание, она предполагает существование чего-то, что это желание может удовлетворить. В случае задачи это «что-то» есть ее решение. Всякое желание побуждает наше воображение рисовать картины возможных путей его удовлетворения и стимулируется в свою очередь вызванной им же самим игрой воображения. Точно так же мы, проникаясь интересом к задаче, начинаем размышлять о ее возможном решении, а размышляя, оказываемся все глубже поглощенными ею.

Одержимость проблемой в сущности есть главная пружина любой творческой активности. Когда ученики в шутку спросили И. П. Павлова, что им делать, чтобы стать «такими же, как он», он ответил им вполне серьезно, что для этого они должны, вставая по утрам, иметь перед со-€ой свою проблему, завтракать с ней, с ней же идти в лабораторию, там до и после обеда тоже удерживать ее перед собой, спать ложиться с этой проблемой в уме и сны видеть также о ней'.

Именно такая погруженность в свою проблему дает гению его вошедшую в пословицы способность- неустанно трудиться. Но и наша способность успешно реорганизовать свои мысли и в течение часов поиска и потом, в часы отдыха, возникает в результате нашей интенсивной погруженности в задачу2.

' Baker J. R. Science and the Planned State. London, 1945, p. 55. 2«После перерыва проясняются лишь те задачи, решения которых мы желаем всей душой или над решением которых мы напряженно работали» (П о и я. Д. Как решать задачу. М., Учпедгиз, с. 140).

Каков же объект этой напряженной озабоченности?' Как можем мы сосредоточить наше внимание на чем-то, чего не знаем? Но нас призывают именно к такому сосредоточению: «Всмотритесь в неизвестное,—восклицает Д. Пойа и продолжает: — Всмотритесь в конец. Помните о своей цели. Не забывайте о ней. Удерживайте в уме то, чего вы добиваетесь. Всегда имейте в виду цель, к которой вы стремитесь. Рассмотрите неизвестное. Рассмотрите заключение» 1. Никакой совет не может быть выразительнее.

Кажущийся парадокс разрешается тем фактом, что даже если мы и не найдем решения вообще, мы имеем его концепцию в том же самом смысле, в каком у нас есть представление о забытом имени. Направив свое внимание на фокус, в котором мы периферийным образом сознаем все частности, которые напоминают нам о забытом имени, мы создаем некоторое представление о нем. Сходным образом, фиксируя внимание на фокусе, в котором мы периферийно сознаем данные, определяющие решение задачи, мы формируем концепцию этого решения. Совет «смотреть на неизвестное» в действительности означает, что нам следует смотреть на известные данные, но не на сами по себе, а как на ключи к неизвестному, как на указатели направления к нему и как на ем части. Мы должны упорно добиваться того, чтобы почувствовать свой путь к пониманию способа, которым все эти известные нам данные связаны друг с другом и с неизвестным. Посредством таких интуитивных на-щупываний мы приобретаем уверенность в том, что неизвестное действительно имеется, что в своих существенных чертах оно задано тем, что о нем известно, и что оно может удовлетворить всем требованиям, которые к нему предъявляются по условиям задачи.

Все наши концепции обладают эвристической силой;

они всегда готовы идентифицировать новые данные опытов, видоизменяясь при этом так, чтобы охватить их.

Практика навыков пронизана изобретательностью. Ставя своей целью достижение успеха, мы вызываем в себе новые и новые способности. Проблема требует усилий обоих типов. Она включает в себя представление о чем-то, чего мы добиваемся, интеллектуальное стремление преодо-

' Там же, с. 166. Курсив в оригинале. К. Дункер пишет, что «... решение возникает из обсуждения того, что дано, с помощью того, что надо найти» (D u n с k e r К. Zur Psychologie des produkti-ven Denkens. Berlin, 1935, S. 13).

леть логический разрыв, по ту сторону которого лежит неизвестное, вполне зафиксированное нашим представлением о нем, хотя еще отнюдь не усмотренное само по себе. Поиск решения заключается в осуществляемых в уме прикидках о том, как его достигнуть. Это делается посредством двух операций, которые всегда должны выполняться совместно. Мы должны, во-первых, фиксировать проблему в адекватных ей символах, продолжая далее перестраивать способ ее представления с целью выявления ее новых информативных для дальнейшего исследования аспектов: во-вторых, покопаться в своей памяти с целью вспомнить какую-нибудь аналогичную задачу, решение которой уже известно.

Сфера этих операций, как правило, ограничена, с одной стороны, умением студента различными способами преобразовывать данные, а с другой — рамками родственных данной и знакомых ему теорем. В конечном счете успех в решении задачи будет зависеть от способности ощущать присутствие еще не выявленных логических связей между условиями задачи, известными теоремами и неизвестным, искомым решением. Если он в своем обдумывании задачи не руководствуется обнадеживающим ощущением приближения к решению, прогресса в его поисках не будет. Случайные догадки, хотя бы они и следовали лучшим правилам эвристики, будут безнадежно глупыми и в целом бесплодными.

Итак, процесс решения математической задачи на каждой своей стадии зависит от способности предугадывать скрытые в задаче возможности, от той способности, благодаря которой человек впервые понял задачу и затем принялся за ее решение. Д. Пойа сравнивал математическое открытие, состоящее из целой цепи последовательных шагов, с аркой, в которой устойчивость каждого камня зависит от присутствия других камней; и он отметил парадокс, заключенный в том, что камни фактически кладутся по одному за раз. И снова парадокс разрешается тем, что каждый последующий шаг еще неполного решения поддерживается тем же эвристическим предвосхищением, которое перед тем привело к изобретению этого шага; поддерживается ощущением, что в результате этого шага логический разрыв, зафиксированный в проблеме, стал более узким.

Это растущее ощущение приближения к решению задачи может быть испытано и в повседневном опыте, когда

мы пытаемся вспомнить забытое имя. Всем нам известно чувство возбуждения, возникающее, когда мы приближаемся к забытому слову. Оно выражается, когда мы все более уверенно заявляем: «Я его вот-вот вспомню» и (это, видимо, более поздняя стадия) «Оно у меня вертится на языке». Ожидание, выражаемое такими словами, часто подтверждается и фактами. Думаю, что аналогичным образом мы должны признать за собой способность как ощущать скрытое умозаключение в качестве доступного для нас на основе данных предпосылок, так и способность изобретать такие преобразования этих предпосылок, которые увеличивают доступность скрытого умозаключения. Мы должны признать также, что это признание ориентирует наши догадки в правильном направлении, в результате чего вероятность их попадания в цель, которая в другом случае была бы нулевой, становится столь высокой, что мы с определенностью можем полагаться на нее и на уровне интеллекта студента, и на уровне специальных знаний и одаренности

профессионального математика.

Чувство уменьшения логического разрыва, отделяющего нас от решения задачи, означает, что для достижения етого решения остается сделать меньше работы. Это чувство может также означать, что остальное решение будет сравнительно легким или что оно пойдет само собой поело того, как мы немного отдохнем. Тот факт стадии созревания, что наши интеллектуальные старания имеют реальный прогресс без какого-либо усилия с нашей стороны, согласуется с латентным характером знания вообще. Подобно тому как мы всегда знаем множество вещей, не думая о них постоянно, так же мы, естественно, продолжаем желать или бояться всякого рода вещей, не думая при этом о них все время. Мы знаем, как задуманная нами цель может позднее автоматически приводить к действию, например, когда мы ложимся спать, решив встать в определенное время. Постгипнотическое внушение может вызвать у человека скрытые процессы, которые, спустя несколько часов после окончания сеанса гипноза, побуждают его к выполнению требуемого от него действия'. В экспериментах Б. В. Зейгарник показано, что таким же образом и незавершенные действия продолжают нас неосознанно занимать. Память о них сохраняется и после

1Ach N. Determining Tendencies: Awareness. — In: R a pa-port D. Organization arid Pathology of Thought. N. Y., 1951, p. 17 ff.

того, как выполненные задания были забыты'. Хорошо известный опыт спортсменов, заключающийся в том, что период покоя, следующий за интенсивной тренировкой, ведет к улучшению показателей, свидетельствует о том факте, что внутреннее напряжение, вызванное в нас незавершенными заданиями, продолжает подталкивать нас в направлении его успешного выполнения. С этим согласуется и спонтанный успех поисков забытого имени или решения проблемы после промежутка, когда мы отвлечемся от этих поисков.

Предшествующие соображения объясняют также и тот способ, с помощью которого внезапно достигается окончательный успех в процессе решения задачи. Поскольку каждый шаг, продвигающий нас в решении задачи, независимо от того, является ли он спонтанным илп обдуманным, усиливает наше предчувствие близости решения, постольку мы все более сосредоточиваем наши усилия на устранении остающегося логического пробела. Таким образом, на заключительной стадии решения мы зачастую приближаемся к ответу самоускоряющимся образом, так что окончательное открытие может предстать перед нами как вспышка света.

Я уже говорил, что наши эвристические потребности, как и наши телесные влечения, подразумевают веру в существование чего-то, обладающего свойствами, которые требуются для нашего удовлетворения, и что те неопределенные ориентиры, которые руководят нашими стремлениями, выражают эту веру. Однако в случае эвристических потребностей то, что их удовлетворяет, не имеет физического существования. Это не есть некий скрытый объект, но еще не осознанная идея. Мы надеемся, что в ходе работы над данной проблемой идея предстанет перед нами или сразу вся целиком, или же шаг за шагом, постепенно. И лишь тогда, когда мы верим, что это решение существует, мы можем с энтузиазмом искать его, побуждая себя предпринимать эвристические шаги для его открытия. Итак, открытие, хотя бы предполагаемое, появляясь в ответ на наш поиск чего-то, как мы убеждены, наличествующего перед нами, всегда приходит к нам в сопровождении веры в то, что это открытие истинно. Оно предстает перед нами, заранее подкрепленное вызвавшей его эвристической потребностью.

' Е 1 И s W. D. A Source Book of Gestalt Psychology. London — N. Y., 1938, p. 300-314.

Даже самые дерзкие по своей оригинальности открытия следуют той же закономерности: они обязательно совершаются на основе допущения, что в них ничего нового не выдумано, но лишь выявляется то, что уже имелось. Их триумф подтверждает это допущение, ибо открываемое всегда чревато своими непредвиденными последствиями и Тем самым удостоверяет свою реальность. Математическая эвристика, стремясь к концептуальной реорганизации безотносительно к новому опыту, также (на своем собственном языке) дает пример того, как из интеллектуальной устремленности вытекает и ее уверенность в предчувство-ванип реальности, а также пример того, как эта уверенность находит свое подтверждение в окончательном решении, которое и «решает» именно потому, что успешно претендует на раскрытие определенного аспекта действительности. Здесь мы снова видим, что весь процесс открытия и его подтверждения основан в конечном счете на нашем же доверии к собственному видению действительности.

Приступая к разработке математической проблемы, мы беремся за карандаш и бумагу, и па стадии подготовки прикидываем на бумаге наши идеи посредством символических операций. Если это сразу не ведет к успеху, мы можем заново обдумать весь вопрос; возможно и то, что решение откроется неожиданно, гораздо позже, в момент «озарения». На деле же обычно такого рода проблески не дают окончательного решения. Они лишь намечают возможный путь к нему, который еще должен быть проверен. При атой проверке или выработке окончательного решения мы опять-таки должны основываться на эксплицитных символических операциях. Следовательно, как первые активные шаги в решении некоторой проблемы, так и решение в законченной форме ощутимо зависят от вычислений и прочих операций с символами, в то время как между этими двумя формальными процедурами лежит более неформальный акт, посредством которого преодолевается логический разрыв. Однако интуиция исследователя всегда остается доминирующей и решающей. Хорошие математики обычно умеют выполнять вычисления быстро и надежно, поскольку, не освоив этой техники, они не могли бы аффективно реализовать свои творческие способности, которые сами по себе, однако, проявляются в генерировании идей. Адамар говорит, что он обычно делал в вычислениях больше ошибок, чем его же ученики, но зато и быстрее обнаруживал эти ошибки, потому что замечал, что результаты не выгля-

дели верными; это почти так же, как если бы он своими вычислениями просто рисовал портрет концептуальных прообразов своих заключений \. Часто приводят слова Гаусса: «Решение у меня есть уже давно, но я еще не знаю, как к нему придти». Может быть, подлинность этой цитаты сомнительна, но сказано хорошо2. Подобная ситуация, несомненно, характерна для большинства тех случаев, когда мы открываем то, что, как мы полагаем, должно быть решением проблемы. В этот момент мы усматриваем решение, которое выглядит правильным, а потому мы надеемся его правильность доказать 3.

Способ, которым математик разрабатывает свой путь к открытию, переходя от упований на интуицию, к вычислениям и обратно, но -никогда не отказываясь ни от одного из этих двух средств, представляет в миниатюре весь спектр операций, посредством которых артикуляция дисциплинирует и расширяет возможности человеческого мышления. Это чередование «интуиции и вычисления» асимметрично, ибо формальный шаг может быть узаконен только благодаря нашему молчаливому его подтверждению. Сверх того, символический формализм сам по себе есть лишь воплощение предшествующих ему неформализованных способностей, это искусно созданное нашим неартикулированным «я» орудие для ориентации во внешнем мире. Следовательно, интерпретация исходных терминов и аксиом является в основном неартикулированной, и таков же процесс расширения и переосмысления значения этих терминов и аксиом, лежащий в основе прогресса математических знаний. Чередование интуитивного и формального зависит от неявных допущений, принимаемых как в начале, так и в конце каждой цепи формальных умозаключений.

' А д а м а р Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики. М., «Сов. радио», 1970, с. 76—77.

2Д. Пойя («Математика и правдоподобные рассуждения») пишет: «Когда вы убедились, чю теорема верна, вы начинаете ее доказывать».

' Архимед в своем трактате «Метод» описывает процесс доказательства геометрических положений средствами механики. Этот процесс убеждал его, хотя в то же время он рассматривал его результаты как нуждающиеся еще в доказательстве, к которому ои затем и переходил (см.: В а н-д е р-В а р д е н Б. Л. Пробуждающаяся наука. Математика Древнего Египта, Вавилона и Греции. М., Физматгиз,1959, с.295—299).