Задача №3. 1. Построим математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты заработной платы рабочим с произвольной почасовой ставкой

1. Построим математическую модель оптимизации выпуска продукции с использованием кредита для выплаты заработной платы рабочим с произвольной почасовой ставкой t (руб./чел.-час) оплаты труда.

Пусть Х₁, Х₂- объёмы выпуска продуктов А и Б

S – потребность в трудовых ресурсах

t- почасовая ставка оплаты труда;

V - размер кредита;

Z- выручка от реализации произведенной продукции

P - прибыль предприятия

Выразим в математической форме основные условия и ограничения задачи:

Ограничения по использованию сырья: 12Х₁+3X₂£6840

Ограничения по использованию оборудования: 7Х₁+3X₂£5040

Потребность в трудовых ресурсах: S=13Х₁+3X₂

Размер необходимого кредита: V=t×S=t×(13Х₁+3X₂)

Выручка от реализации произведенной продукции: Z=6295x₁+1560X₂

Сумма расходов по кредиту:

Прибыль предприятия:

P=Z–1,1V=6295x₁+1560X₂-1,1×t×(13X₁+3X₂)=(6295-14,3×t)X₁+(1560-3,3×t)X₂

Тогда математическая модель задачи примет вид:

12Х₁+3X₂£6840

7Х₁+3X₂£5040

X₁³0; X₂³0

P=(6295-14,3×t)X₁+(1560-3,3×t)X₂®MAX

При этом необходимый размер кредита V определяется по формуле:

V=t×S=13t +3t

2. Определим оптимальную программу выпуска продукции, максимальную прибыль, необходимый размер кредита, сумму уплаченных процентов и потребность в трудовых ресурсах, если t=10 руб/чел.-час.

При t=10 руб/чел.-час математическая модель примет вид:

12Х₁+3X₂£6840

7Х₁+3X₂£5040

X₁³0; X₂³0

P=6152X₁+1527X₂®MAX

Построим область допустимых решений и найдем графическое решение задачи:

I. 12x₁+3x₂=6840

x1
x2

II. 7x₁+3x₂=5040

x1
x2

Точка max Х^*= находится в точке A(570;0)

Þ X^*=(570;0) – оптимальная производственная программа при t=10 руб./чел.-ч.

Определим другие показатели:

Максимальный размер прибыли:

P^*=6152×570+1527×0=3506640 руб.

Размер необходимого кредита:

V^*=13×10×570+3×10×0=74100 руб.

Сумма уплаченных процентов:

0,1×V^*=0,1×74100=7410 руб.

Потребность в трудовых ресурсах:

S^*=13×570+3×0=7410 чел.-час

3. Найдём функцию спроса на трудовые ресурсы, как функцию почасовой ставки оплаты труда t и построим её график:

grad P(t)=(6295-14,3t;1560-3,3t)

При росте t, нормаль к линиям уровня р(t) будет поворачиваться против часовой стрелки, т.к. 1-ая компонента градиента становится нулевой раньше 2-ой компоненты градиента при росте t.

Точка A остается точкой максимума, пока линии уровня p(t) не станут параллельны прямой (1)

t=50 руб./чел.-час

При tÎ[0;50) точкой максимума будет точка A.

При t=50 оптимальной будет любая точка отрезка АВ.

При t>50 точкой максимума станет точка B(360;840) и будет оставаться ею до тех пор, пока линии уровня р(t) не станут параллельны прямой (2):

t=402,3 руб./чел.-час

При tÎ[50;402,3] точкой максимума будет точка В.

При t=402,3 оптимальной будет любая точка отрезка ВС.

При t>402,3 точкой максимума станет точка С(0;1680) и будет оставаться ею до тех пор, пока 2-ая компонента градиента не станет отрицательной:

1560-3,3t=0

t=472,7 руб./чел.-час

При tÎ[402,3;472,7] точкой максимума будет точка С.

При t=472,7 оптимальной будет любая точка отрезка OС.

При t>472,7 оптимальной точкой будет начало координат, т.е. точка О(0;0).

Представим полученные результаты таблично:

t	X*(t)
0£t£50	А
t=50	(1-l)×А+l×В
50£t£402,3	В
t=402,3	(1-l)×В+l×С
402,3£t£472,7	С
t=472,7	(1-l)×С+l×О
t>472,7	О

где А(570;0), В(360;840), С(0;1680)

Найдем зависимость S от t:

При tÎ[0;50] S^*(t)=S^*(А)=7410 чел.час.

При tÎ[50;402,3] S^*(t)=S^*(В)=7200 чел.час.

При tÎ[402,3;472,7] S^*(t)=S^*(С)=5040 чел.час.

При t=50, t=402,3, t=472,7 производственная программа определяется неоднозначно, а, следовательно, неоднозначен спрос на трудоресурс.

Оформим полученные результаты в виде таблицы и построим график функции S^*(t)

t	X*(t)
0£t£50
t=50	[7200;7410]
50£t£402,3
t=402,3	[5040;7200]
402,3£t£472,7
t=472,7	[0;5040]
t>472,7

Исследуем зависимость P^*(t) и V^*(t) при tÎ[10;60]

При tÎ[10;50]:

V^*(t)=V_A=7410×t

P^*(t)=3588150 - 8151×t

При tÎ[50;60]:

V^*(t)=V_B=7200×t

P^*(t)=3576600 - 7920×t

При t=50:

V^*(t)=V_A=7410×50=370500

V^*(t)=V_B=7200×50=360000

P^*(50)=3588150 - 8151×50=3180600 руб.

P^*(50)=3576600 - 7920×50=3180600 руб.

Представим полученные результаты в виде таблицы и построим графики функций P^*(t) и V^*(t)

t (чел.-час)	10£t£50	t=50	50£t£60
V*(t) (руб.)	7410×t	[360000;370500]	7200×t
P*(t) (руб.)	3588150 – 8151×t		3576600 – 7920×t