X5/6X5/6X5/6

Рис. 2.3. Возможные исходы эксперимента: 6 — выпало "шесть", 6* — выпало не "шесть"

Для того, чтобы вывести формулу распределения вероятностей, рассмотрим пример появления двух "шестерок", т.е. два " успеха" и две " неудачи". Это может произойти шестью способами.

6 6 6* 6»; 6 6» 6 б»; 6 6* 6* 6; 6* 6* 6 6; 6» 6 6* 6; 6* 6 6 6».

Гл. 2. Вероятностные распредел ения

Вероятности этих исходов равны:

i i I £_uf (if

6*6* 6^х646 *6 '

Отсюда вероятность появления двух "шестерок"

nf (?²

— х I — I х (количество возможных способов получения двух "шестерок" при четырех бросках)

Р(две "шестерки" при четырех бросках) =1 — 1 х 1 — 1 х 6 = -

\6) {6) 1296 '

Для иллюстрации вероятностей остальных исходов воспользуемся схемой:

iwn» «< л f0° ГЯ⁴ < 625

Р (0 шестерок при четырех бросках) = Иг х — х 1 =;

п /I - - л ГО¹ fsf, 500

Р (1 шестерка при четырех бросках) = hr х — х 4 = »_Qfi;

»••>- ■• «^ Of (⁵f с ¹⁵°

Р (2 шестерки при четырех бросках) =br ^х r х 6 =

[6) [6) 1296 *

П³ rsV, 20

Р (3 "шестерки" при четырех бросках) =\т\ х I о ■

6 1296 '

7 х4 =

ГП⁴ (5\° 1 Р (4 "шестерки" при четырех бросках) = \-т\ х

6) [6) 1296 "

Полная вероятность = _19Qfi = 1.

Отсюда можно вывести формулу, описывающую вероятность появления "шес­терки" при четырех бросках:

Р (г "шестерок" при четырех бросках) =7 ^х 7Г ^х (число опытов с г

To J Iо I

"шестерками").

46 Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

Из главы 1 известно, что число "успехов" г при четырех попытках представ­ляет собой число комбинаций г элементов из четырех элементов, т.е.:

4_С 41

^г " г! (4 - г)! '

Отсюда:

Р (г "шестерок" при четырех бросках) = —I х — I х ⁴С_Г.

Важные характеристики этого биномиального эксперимента:

1. Все четыре опыта абсолютно идентичны.

2. Результаты опыта друг от друга не зависят.

3. Для каждого опыта возможны два исхода: 6 и не 6 — "успех" и "неудача".

4. Для каждого опыта вероятность "успеха" одинакова — 1/6.

Эти характеристики являются необходимым условием биномиального распре­деления. Теперь от конкретного эксперимента перейти к общей формуле.