Особый случай зависимых случайных величин

Если новая случайная величина (z) получается при умножении х на какое-то число а, т.е. z = ах, то мы имеем дело уже не с комбинацией независимых случайных величин. Среднее величины z равно:

а дисперсия:

Дис (z) = а² Дис (х).

□ Пример 2.19. Товар, упомянутый в примере 2.17, состоит из пяти идентичных компонентов. Каково среднее и стандартное отклонение дневного спроса на компоненты? Решение.

На первый взгляд может показаться, что эта ситуация подобна ситуации с недельным спросом, но на самом же деле это не так. Мы имеем не пять независимых случайных величин, а одну величину за день, которую умножаем на 5, чтобы получить число необходимых компонентов.

Дневной спрос на компоненты:

Среднее = 5 х 100 = 500 компонентов в день.

Дисперсия = 5 х 12. Следовательно, стандартное отклонение = 5 х 12 = 60 компонентов в день.

Природа распределения объединенных случайных величин

Если объединяемые независимые случайные величины являются нормально рас­пределенными, тогда и объединенная случайная величина будет подчиняться нормальному распределению. Например, если z = x+y, хиу — независимые нормально распределенные переменные, то z тоже будет распределено нормально. То же для z = х - у. Аналогично, если z = ах, где а — константа, х распределено нормально, то и г имеет нормальное распределение. Но это правило верно не для всех распределений. Например, если хиу — независимы и имеют биномиальное распределение, то z не будет иметь биномиального распределения. Это правило верно для любого числа независимых случайных величин. Вернемся к задаче с коробочками, которые наполняются апельсиновым соком и затем объединяются в упаковки по 4 штуки. Если вес полной коробочки распределяется нормально со средним весом w (гр) и стандартным отклонением a_w, то вес упаковки подчинен нормальному распределению со средним весом, равным:

T=w + w + w + w = 4xw, а дисперсия:

о² = а² + о² + а² + сх² = 4 х а².

Т w w w w w

Гл. 2. Вероятностные распределения1Ъ

РЕЗЮМЕ

Случайная величина представляет собой численный исход эксперимента. Случай­ная величина может быть или дискретной (только целые числа) или непрерывной (любые). Для дискретной случайной величины вероятность значения г находится по формуле дискретной вероятности:

Р(г) = f (г) на определенном промежутке г.

Математическое ожидание случайной величины находится по формуле:

Е(г)=£гР(г).

Стандартное отклонение:

a = VXr²P(r)-(E(r))².

При биномиальном распределении мы рассматриваем п независимых, идентич­ных опытов. Каждый опыт имеет два возможных исхода: "успех" и "неудачу". Вероятность "успеха" одинакова для всех опытов. Формула вероятности биноми­ального распределения:

Е (г) = п р и о = Vn p q.

Распределение Пуассона используется для большого числа идентичных неза­висимых опытов, каждый из которых имеет малую постоянную вероятность "успеха". Формула вероятности биномиального распределения:

г m Р(г) = ^-; г = 0, 1,2,3,....

Е (г) = га и о = Vrn.

Распределение Пуассона используется для упрощения расчета биномиальных вероятностей при п = 30, р £ 0,1 и пр <, 5.

Вероятность непрерывной случайной величины представляет собой площадь под кривой плотности вероятности. Вероятность существует только для интервала значений случайной величины, но не для отдельно взятого значения.

Все нормальные распределения зависят от средней и стандартного отклонения и могут быть сведены к единому распределению. Это стандартное нормальное распределение. Значения случайной величины выражаются в количестве стандарт­ных отклонений от средней г. Существуют таблицы вероятностей для каждого значения z.

74 Ч. 1. Принятие решений в условиях недостатка информации

Нормальное распределение может использоваться в качестве замены биномиаль­ного, если пр и nq больше 5. Нормальное распределение также может заменять пуассоновское, если m £ 10.

Если складывать или вычитать независимые нормальные случайные величины получается также нормальная случайная величина. Среднее значение объединенной случайной величины есть сумма или разность индивидуалных средних. Дисперсия объединеной случайной величины есть сумма индивидуальных дисперсий.

Если х — нормальная случайная величина и z = ах, где а — константа, тогда средняя z является нормально распределенной величиной со средней ц = а х и

дисперсией ст /L = а² а?_хч.