Следовательно,. Поэтому, если математическое ожидание выборочной дисперсии известно, то может быть определена генеральная дисперсия а


QL

N (п - 1)

^E(s2).


Поэтому, если математическое ожидание выборочной дисперсии известно, то может быть определена генеральная дисперсия а. Е (s) является несмещенной оценкой генеральной дисперсии. В этом случае, как и при оценке генеральной средней, наиболее вероятно, что мы будем располагать дисперсией только одной выборки и использовать ее для получения оценки генеральной дисперсии. Тогда:


»2 = QL


Ii.


(n - 1) '


Где s


Е< =


*r


Это дает нам несмещенную оценку генеральной дисперсии.


126 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

а Пример 4.3. Обратимся к примеру 4.1, где мы имели дело с конечной совокупностью, состоящей из чисел: 4, 8, 12, 16, 20, 24. Построим выборочное распределение, формируя выборки, объем которых равен двум наблюдениям, и рассчитаем дисперсию в качестве статистики для каждой выборки. Выборочная дисперсия:

, Z(x-x)2

S».

п

Решение

Таблица 4.4. Выборочные дисперсии, п - 2

Реализованные выборки Выборочная дисперсия, Реализованные выборки Выборочная дисперсия,
4, 8   8,24  
4, 12   12, 16  
4, 16   12,20  
4,20   12,24  
4,24   16,20  
8, 12   16,24  
8, 16   20, 24  
8,20      

Выборочное распределение дисперсий этих выборок следующее:

Таблица 4.5. Вычисление Е (s 2)

Выборочная дисперсия, s 2 Частота, f f*'
4 16 36 64 100 5 4 3 2 1 20 64 108 128 100
Итого    

Математическое ожидание выборочной дисперсии составляет: E(s')«^-f -28,0.

Zf 5

Отсюда

■'-*5a-sV"'>-*iJ1-p!ir«-«-


Гл. 4. Выборка и выборочные распределения



Так как нам известны данные генеральной совокупности, то можем вычислить значение генеральной совокупности непосредственно. Нам известно, что генераль­ная средняя ц = 14, следовательно:

Таблица 4.6. Вычислениео3
Значение переменной, х (х - ц) 2
   
   
   
   
   
   
Итого  

Отсюда

Z <х ~ ^ 280

— - 46,6.

О

Это значение совпадает с тем, которое было получено по выборочному распре­делению выборочных дисперсий.

БОЛЬШАЯ (БЕСКОНЕЧНАЯ) ГЕНЕРАЛЬНАЯ СОВОКУПНОСТЬ Если генеральная совокупность большая, то приблизительно:


(N-1) Тогда выражение несмещенной оценки генеральной дисперсии имеет вид:

.2

П E(s2)

Ert.fe^as:

И (п - 1)

И несмещенная оценка генеральной дисперсии может быть выражена

о*-- ------ -Г, где s-1--------------------.

(п - 1) п

Следовательно, а может быть записана как:


Р.


о Х<*- *>2!(*- *>*

(п-1)

(п-1)


128 Ч. 2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Последнее выражение дает несмещенную оценку генеральной дисперсии. Вы, должно быть, заметили, что несмещенная оценка генеральной дисперсии обычно обозначается:

(п-1)

(обозначение а не используется).

Важно не путать оценку генеральной дисперсии с выборочной дисперсией:


s2


1(*-х)2


Вы должны понимать, какую статистику вы рассчитываете. В этой книге мы

будем обозначать несмещенную оценку генеральной дисперсии как о^, чтобы избежать путаницы.

Если мы имеем дело с выборками из нормальной совокупности, то используем

9 9 9

таблицы х ~ распределения, так как выборочное распределение ns /о подчи­няется х - распределению с (п - 1) степенями свободы (см. 4.4.4).


Понравилась статья? Добавь ее в закладку (CTRL+D) и не забудь поделиться с друзьями:  



double arrow
Сейчас читают про: