Ряс. 8.6. Зависимость времени поставки от расстояния поставки

Гл. 8. Линейная регрессия 247

Показанная на рис. 8.6 линия — это возможная линейная модель для описания связи между переменными. Уравнение этой линии может быть записано следую­щим образом:

у = а + Ьх,

где а — определяется как пересечение линии регрессии с осью у; b — угол наклона линии регрессии, называется коэффициентом регрессии. Рассмотрим конкретное значение пройденного пути, которое мы обозначим как х,. Для х, фактическое время будет у,, тогда как время, прогнозируемое линейной моде­лью (теоретическое) определяется из уравнения:

у, = а + Ьх,. Разница между этими двумя значениями:

^ei = У| " Ур

называется ошибкой, или отклонением, или остатком. Мы можем определить величину ошибки для всех отмеченных точек. Линейная модель, которая наилучшим образом аппроксимирует данные — одна из тех, для которой общая ошибка выборки имеет наименьшее значение. Чтобы рассчитать ее, нужно избежать позитивных и негативных значений. Это можно сделать, возведя все ошибки в квадрат и делая их положительными величинами. Линия наилучшего подбора — та, которая минимизирует квадраты разниц между рассматриваемыми значениями у и соответствующими значениями х, рассчитанными с помощью линии наилучшего подбора. Эта линия называется линией регрессии, полученной методом наименьших квадратов. Может быть избран и другой критерий подбора наилучшей линии.

Используя различные расчеты, можно определить наклон и пересечение линии регрессии с осью OY методом наименьших квадратов.

Формулы для определения угла наклона линии регрессии и ее пересечения с осью OY следующие:

. п£ ху - £ х £ у
наклон Ь - —

п£х*-(£х)²' где а — размер выборки;

1у ь£х

пересечение а ^:

Соответствующие расчеты для выборки п=10 даны ниже. Линейная модель:

у = а + Ьх.

248 4.2. Анализ данных как составная часть принятия решений

Таблица 8.2. Расчет линии регрессии