Рассмотрению

Рис. 12,1. Графическое изображение неравенства х £ 7

Гл. 12. Линейное программирование

которых х = 7, т.е. точки, лежащие на самой прямой; точки, для которых х < 7 область слева от прямой; и точки, для которых х > 7, т.е. точки, принадлежащие области, лежащей справа от прямой. Последнее множество нас не интересует Область, не подлежащую рассмотрению, обычно принято заштриховывать. Обратите внимание на график, изображенный на рис. 12.1 справа.

Предположим, что х + у <, 10. Какую часть плоскости описывает данное неравенство? Схема поиска ответа на этот вопрос аналогична схеме, используемой в предыдущем примере. Во-первых, проведем прямую х + у = 10. Обратимся к графику, изображенному на рис. 12.2 слева. Как и в предыдущем примере, проведенная прямая разделяет плоскость на три множества точек: точки, для которых х + у = 10, принадлежащие прямой; точки, для которых х + у < ю, принадлежащие области, лежащей ниже прямой; и точки, для которых х + у > Ю принадлежащие области, лежащей выше указанной прямой.

Полезным приемом при определении недопустимой области на графике является следующая процедура. Необходимо выбрать любую точку на графике, не принадле­жащую прямой, и подставить ее координаты в неравенство. Если неравенство будет выполняться, то данная точка является допустимым решением. Если неравенство не выполняется, то точка является недопустимой и принадлежит, следовательно, недопустимой области. Удобной для использования при подстановке в неравенство точкой является начало координат. Подставим х = у = 0 в неравенство х + у <, 10. Получим 0 + 0 <, 10. Данное утверждение является верным, следовательно, начало координат — допустимое решение, и недопустимой областью является часть плос­кости, лежащая по другую сторону прямой. Это отражено на графике, изображен­ном на рис. 12.2 справа.

Недопустимая область

х + у <10

Рис. 12.2. Графическое изображение неравенства х + у 5 10

Аналогично можно изобразить графически каждое ограничение задачи линейного программирования и определить недопустимую область. Если все ограничения задачи изобразить на одном графике, то область, которая останется незаштрихован-ной, будет содержать множество точек, удовлетворяющих системе ограничении.

Ч. 4. Моделирование в бизнесе

Данная область называется допустимым множеством. Порядок расположения переменных на осях координат в задаче линейного программирования значения не имеет. На графике следует всегда отмечать начало координат. Смещённое начало координат использовать нельзя.

Применим теперь данную процедуру к задаче линейного программирования, сформулированной в примере 12.1, в котором рассматривается производство двух видов безалкогольных напитков. Ограничения задачи можно изобразить графически.

Время работы оборудования: 0,02 р + 0,04 m £ 24 ч/день.

Проведем прямую 0,02 р + 0,04 m - 24. Простейшим способом нанесения прямой на график является нахождение точек пересечения данной прямой с осями коор­динат р и т. Подставив р = 0 в уравнение и рассчитав значение т, получим, что при р = 0 m = 600. Подставив m = 0 в уравнение и рассчитав значение р, получим, что при m = 0 р = 1200. Нанесем эти две точки на график и соединим их прямой. Этим приемом можно пользоваться всегда, за исключением случая, когда прямая проходит через начало координат. В последнем случае применяется иная процеду­ра подстановки в уравнение любого другого значения р и нахождения соответству­ющего значения т.

Для определения области, которую следует заштриховать, подставим р = 0 и m = 0 в неравенство:

0,02 х 0 + 0,04 х 0 £ 24.

Данное утверждение является верным, таким образом, начало координат принадлежит допустимой области.

0,02р + 0,04т - 24

Недопустимая область

Рис. 12.3. Графическое изображение неравенства 0,02 р + 0,04 m £ 24

Специальный ингредиент: 0,01 р + 0,04 m £ 16. Проведем прямую: 0,01 р + 0,04 m = 16.

Как и в предыдущем ограничении, начало координат принадлежит допустимой области, поэтому следует заштриховать область, лежащую выше прямой.