Площадь многоугольника

Здесь и в дальнейшем будем рассматривать простые многоугольники.

Определение [10.1]. Пусть имеется многоугольник . Возьмем какие-либо две точки и на различных сторонах этого многоугольника и построим какую-либо ломаную с концами в точках и так, чтобы все ее точки были внутренними точками многоугольника. Тогда говорят, что многоугольник разбит на два многоугольника и и записывают ( называют также суммой многоугольников и ).

Определение [10.2]. Говорят, что на множестве всех многоугольников определена функция площади мноугольника, если каждому многоугольнику поставлено в соответствие некоторое число так, что:

. (позитивность);

. Если , то (инвариантность);

. Если , то (аддитивность);

. Если квадрат, сторона которого является единичным отрезком ( — единичный квадрат), то (нормированность).

называется площадью многоугольника , свойства — — аксиомами площади.

Лемма [10.1] (площадь прямоугольника). Если функция площади существует, то площадь прямоугольника со сторонами и равна произведению .

Следствие 1. Если функция площади многоугольника существует, то:

1. Площадь трапеции равна произведению ее средней линии на высоту.

2. Площадь треугольника равна половине произведения любой его стороны на соответствующую высоту.

3. Площадь параллелограмма равна произведению любой его стороны на соответствующую высоту.

Теорема [10.1]. (существования). Функция площади, определенная на множестве всех многоугольников, существует.

Теорема [10.2]. (единственности). Функция площади, определенная на множестве всех многоугольников, единственна.